Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя эти равенства в гейзенберговские нереста-
126
Главй 6
новочные соотношения (5.6.20в) и гейзенберговские урав нения движения (5.6.23), находим
а) SJJv' (01 = — Mv.'-*' или
б) [Qm.'(О- ^JJv'(01= — i^n'v'1
а) н(Qvi(0, ^v,{ґ))ь
б) = №(і, (0> я (Qv, (0) ^v,(0)b
(6.2.15)
(6.2.16)
Здесь мы сделали следующее предположение о поведении оператора Гамильтона:
дчад. = 5М*'))> (6-2.17)
которое обычно выполняется, так как H есть четная функция от импульсов.
Вид основных уравнений (6.2Д5) и (6.2.16) свидетельствует сразу же об отсутствии у них форм-инвариантности относительно введенного выше обращения времени. Отсюда ясно, что преобразованные величины (6.2.14) ужене будут решениями уравнений движения. Однако любое линейное унитарное преобразование % вида
а) а,-(г):=ZQ11 (ОS+,
б) !Pu'W=^MOZ+, к ]
примененное согласно правилам (5.3.8), оставляет эти основные уравнения форм-инвариантными относительно новых переменных Qm/ (t) H-^Jm,- (t). Это значит, что преобразования (6.2.14) не могут быть описаны линейным унитарным оператором.
Тогда встает вопрос: может ли быть построено такое математическое исчисление, которое бы, с одной стороны, тесно примыкало к стандартному исчислению линейных операторов, а с другой стороны, обладало совершенно новыми чертами, удовлетворяющими новым требованиям. В частности, заранее ясно, что подобное исчисление не может выражаться на языке матричной алгебры, ибо она базируется на алгебре линейных операторов. Следовательно, в исчислении, которое должно быть развито, используемые операции рассматриваются лишь как вычис-
ДискреШные CUMMetnpUU в квантовой теории
лительные рецепты, прилагаемые ко входящим в него величинам. Поэтому появляющиеся здесь преобразованные величины часто записываются в особых скобках { }, которыми они и выделяются. При этом такие скобки нельзя просто отбрасывать, так как свойство ассоциативности уже не обязательно выполняется.
Для чисто операторных уравнений постулируем: 1) свойство ассоциативности выполняется в обычном смысле; 2) эрмитово сопряжение производится по обычному правилу. В таких уравнениях не требуется ставить какие-либо скобки.
В изложенном смысле мы прежде всего введем следующие общие предположения относительно преобразования (6.2.14):
а) (О ^ У Op, (t) 1 = Оц ( t), (6 2 19)
б) «MO = ^--1=-SM-*)-
Эрмитово сопряжение показывает, что должно иметь место соотношение
Я'-1 = #'+', (6.2.20)
означающее унитарность в случае линейных операторов. Кроме того, если последовательно применить два преобразования одно вслед за другим, то получим
JT2 = I, т. е. J- = jT-1 = jT+, (6.2.21)
а это означает эрмитовость исследуемого оператора. Если бы этот оператор был линейным, то он имел бы собственные значения ±1.
Для оператора момента импульса из приведенных соотношений получаем
SW W = ^SVv (O^ + = -SW-*)- (6.2.22)
Пусть оператор Гамильтона имеет такую структуру, что
H'= ^H (Q^t), 5Д(0) ==#(?>.*(-*), (-*))¦
(6.2.23)
Так как в случае консервативной системы имеет место равенство
tf(CV(-*), SM —0) = ^(?(О» SMO), (6-2.24)
128
Глава 6
отсюда следует
(6.2.25)
если предположить справедливость гейзенберговских уравнений движения для оператора S.
Заметим, что закон преобразования (6.2.23) согласуется с трансформационными свойствами четвертой компоненты 4-импульса.
Подводя итоги, можно сказать следующее. Требуемое преобразование (6.2.14) должно выражаться операторным образом соотношениями (6.2.19). Так как при этом не может быть и речи о линейном унитарном преобразовании, оператор S должен обладать новыми специфическими свойствами. Чтобы выяснить характер этих свойств, преобразуем соответствующим образом соотношение (5.6.20в). Это приводит к равенству
Существуют следующие две возможности привести это равенство к виду (6.2.15).
а) Вигнеровское обращение времени. Следуя Вигнеру [ 11 ], потребуем антилинейности оператора S (S ==Sw) •
это значит, что некоторому комплексному числу а должно сопоставляться комплексно сопряженное ему число а*. Антилинейный унитарный оператор будем называть анти-унитарным.
Выполнение этого требования приводит к желаемым результатам как для перестановочных соотношений, так и для операторных уравнений движения.
Сам Вигнер не выразил свою теорию на языке бра-и кет-векторов. В целях последовательности изложения мы распространим его теорию на случай абстрактной квантовой теории поля. Чтобы это осуществить, необходимо затронуть еще несколько основных положений. Именно, пусть собственный кет-вектор переходит при обращении времени в собственный бра-вектор по правилу
S' 1? (*). (01 = hb^SiS*. (6.2.26)
(6.2.27)
I т {t)Y = {Sw I m (і)» = (m Wl (6.2.28a)
Дискретпкые симметрии в квантовой теории
129
и, наоборот,
'(т (t) I = {(т (t) I Sw+}=\ т (t)}. (6.2.286)
Здесь приходится использовать обозначения со скобками, так как иначе в левой и правой частях уравнения уголки были бы направлены в противоположные стороны. Далее эти скобки препятствуют применению закона ассоциативности в соответствующих уравнениях, связывающих операторы и векторы состояния. Кроме того, правило эрмитова сопряжения не может распространяться на множители, стоящие в этих скобках.
