Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
бросается шестигранная кость (с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6), если же
выпадает "решетка", то снова подбрасывается монета. Пространство
элементарных событий данного
§ 1. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ
15
эксперимента будет таким:
Q = {Г1, Г2, ГЗ, Г4, Г5, Гб, РГ, РР}.
Рассмотрим теперь более сложные примеры, связанные с разными способами
выбора п шаров из урны, содержащей М различных шаров.
2. Пример 4. Выбор с возвращением. Так называют эксперимент, в котором
на каждом шаге извлеченный шар возвращается обратно. В этом случае каждая
выборка из п шаров может быть записана в виде (аи ..., ап), где а/ -номер
шара, извлеченного на i-м шаге. Понятно, что в случае выбора с
возвращением каждое at может принимать любое из М значений 1, 2, ..., М.
Описание пространства элементарных событий существенно зависит от того,
считаем ли мы выборки тождественного состава такие, как, скажем, (4, 1,
2, 1) и (1, 4, 2, 1), различными или одинаковыми. В связи с этим принято
различать два случая: упорядоченные выборки и неупорядоченные выборки. В
первом случае выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но
отличающиеся порядком следования этих элементов, объявляются различными.
Во втором случае порядок следования элементов не принимается во внимание
и такие выборки объявляются тождественными. Чтобы подчеркнуть, какие
конкретно выборки мы рассматриваем, будем для упорядоченных выборок
использовать обозначение (а,.......а"), а для неупорядоченных - [щ, ...,
ап].
Итак, в случае упорядоченных выборок пространство элементарных событий П
имеет следующую структуру:
П = {со: со = (аи ..., ап), at=l, ..., М}
и число (различных) исходов
N(Q) = Mn. (1)
Если же рассматриваются неупорядоченные выборки, то П = {со: со = [alf
..., ап], at= 1, ..., М).
Понятно, что N (Q) (различных) неупорядоченных выборок
меньше, чем число упорядоченных. Покажем, что для этого случая
N (й) = См + п-п (2)
I k\
где Ck = jr^ir/yi - число сочетаний из k элементов по /.
Будем вести доказательство по индукции. Обозначим N {М, п) число
интересующих нас исходов. Ясно, что для всех k^M
N(k, 1) = ? = а.
Предположим теперь, что N (k, п) = Сь+п-ь k^M, и покажем, что эта формула
остается справедливой при замене п на п-\-1.
16 гл. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
При рассмотрении неупорядоченных выборок [ах, ля+1] можно считать, что их
элементы расположены в порядке неубывания: ал =sc а, гс;... с оя+1.
Очевидно, что число неупорядоченных выборок с ах=1 равно N (М, п), с а1 =
2 равно N(M - l, п) и т. д. Следовательно,
N(M, n + l) = N(M, n) + N(M- 1, n) + ... + N(l, n) = - См -j- n - i Сд; _
i _ i -f-... -Cn =
- + n -^M + n-\)-\-\yM - \-rn --{) + ¦¦¦
I (-j- 1 П\ I s~,n f^tl -f- 1
. . .-(-^Crt + I - LaJ-T^n - ОМ -1- fit
где мы воспользовались следующим легко проверяемым свойством биномиальных
коэффициентов:
ci-'+c'^cU
Пример 5. Выбор без возвращения. Будем предполагать, что п М и что
извлеченные шары обратно не возвращаются. В этом случае также
рассматриваются две возможности, связанные с различением упорядоченных и
неупорядоченных выборок.
В случае упорядоченных выборок без возвращения пространство исходов
Q = {co: со = (alf ..., ап), лх Ф а.г Ф ... =? ап, at = 1, .... М},
а число элементов этого множества (называемых размещениями) равно М (М -
1)... (М - п + 1). Для этого числа используется обозначение (М)п, или
Апм, называемое "числом размещений из М по я".
В случае неупорядоченных выборок (называемых сочетаниями) пространство
исходов
П = | со. со = [нх, ..., л"], их =Ф а% Ф1... ^Ф апу ai = 1, ..., /d [,
состоит из
N(Q)=Cb (3)
элементов. Действительно, из каждого неупорядоченного набора [лх, ...,
а"], состоящего из различных элементов, можно получить ровно ti\
упорядоченных наборов. Следовательно,
N(Q)-n\ = (M)n
и, значит,
N (Q) = ^ = CTm-
Результаты о числе исходов в случае п извлечений из урны с М шарами
сведем в табл. 1.
§ t. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ
Таблица 1
17
мп Гп им+п-1 со ? Сз 2 "о 5:
(М)п Гп ьм ! Сз "О* 5": 3 I д 3
Упорядо- -ченный Иеупорядо--ценный \jSbi5op На5ор\
Для случая М = 3 и п = 2 структура соответствующих прО' странств
элементарных событий приводится в табл. 2.
Таблица 2
(1.1) (1,2) (1,3) (2.1) (2,2) (2,3) (3.1) (3,2) (3,3) ИМ 2,2]
[3,3] .[1,2] [1,3]. [2,3] г "о "В- ^ ^ 1 5; Со
(1,2) (1,3) (2.1) (2,3) (3.1) (3,2) [1.2] [U] [2,3] "Ь 1 2 & 40
§ *0
Уп оря до --ценный Иеупорядо-- ценный \Выдор На5ор\.
Пример 6. Размещение дробинок по ячейкам. Рассмотрим вопрос о структуре
пространства элементарных событий в задаче размещения п дробинок (шаров и
т. п.) по М ячейкам (ящикам и т. п.). 3 статистической физике подобная
задача возникает, например, при изучении распределения п частиц (это
могут быть протоны, электроны, ...) по М состояниям (это могут быть
энергетические уровни).
Пусть ячейкам присвоены номера 1, 2, ..., М, и предположим сначала, что
дробинки различимы (имеют номера 1, 2, ..., п). Тогда распределение п
дробинок по А1 ячейкам полностью описывается (упорядоченным) набором (а1(
