Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Лучшим выразителем идей Чебышева был его ближайший ученик Марков,
которому принадлежит несомненная заслуга доведения до полной ясности
результатов своего учителя. Значительным вкладом Маркова в теорию
вероятностей явилось начатое им исследование предельных теорем для сумм
зависи-
12
ВВЕДЕНИЕ
мых случайных величин и создание одного из новых разделов теории
вероятностей - теории зависимых случайных величин, связанных, как теперь
принято говорить, в цепь Маркова.
"...классический курс исчисления вероятностей А. А. Маркова и его
оригинальные мемуары, являющиеся образцом точности и ясности изложения, в
наибольшей степени содействовали превращению теории вероятностей в одну
из самых совершенных областей математики и широкому распространению
направления и методов Чебышева" (Бернштейн С. Н. [3]).
Для доказательства центральной предельной теоремы теории вероятностей (о
сходимости к нормальному закону) Чебышев и Марков применили так
называемый метод моментов. При более общих условиях и более простым
методом - методом характеристических функций эта теорема была получена
Ляпуновым. Последующее развитие теории показало, что метод
характеристических функций является мощным аналитическим средством
доказательства самых разнообразных предельных теорем.
Современный период в развитии теории вероятностей начинается с
установления аксиоматики. Первые работы в этом направлении принадлежат С.
Н. Бернштейну (1880-1968), Р. Мизесу (1883-1953), Э. Борелю (1871 -
1956). В 1933 г. вышла книга А. Н. Колмогорова "Основные понятия теории
вероятностей", в которой была предложена аксиоматика, получившая всеобщее
признание и позволившая охватить не только все классические разделы
теории вероятностей, но и дать строгую основу для развития ее новых
разделов, вызванных запросами естествознания и связанных с
бесконечномерными распределениями.
Изложение в настоящей книге основано на аксиоматическом подходе
Колмогорова. При этом, чтобы формально-логическая сторона дела не
заслоняла интуитивных представлений, паше изложение начинается с
элементарной теории вероятностей, "элементарность" которой состоит в том,
что в соответствующих вероятностных моделях рассматриваются эксперименты
лишь с конечным числом исходов. После этого мы даем изложение основ
теории вероятностей в ее наиболее общем виде.
Начиная с 20-30 годов в теории вероятностей бурно развивается один нз ее
новых разделов - теория случайных процессов, занимающаяся изучением
семейств случайных величин, эволюционирующих во времени. Была создана
теория марковских процессов, теория стационарных процессов, теория
мартингалов, теория предельных теорем для случайных процессов. К
недавнему времени относится возникновение теории информации.
Основное внимание в настоящей книге уделяется случайным процессам с
дискретным временем - случайным последовательностям. Однако тот материал,
который излагается во второй
ВВЕДЕНИЕ
13
главе, дает основательную базу (прежде всего логического характера),
необходимую при изучении общей теории случайных процессов.
К 20-30 годам относится и зарождение математической статистики как
отдельной математической дисциплины. В определенном смысле математическая
статистика занимается задачами, обратными к задачам теории вероятностей.
Если основная цель теории вероятностей - подсчет вероятностей сложных
событий для данной вероятностной модели, то математическая статистика
ставит перед собой обратную задачу - выявление структуры вероятностно-
статистических моделей по результатам наблюдений за теми или иными
сложными событиями.
Отдельные задачи и методы математической статистики также излагаются в
настоящей книге. Однако достаточно полно здесь представлена лишь теория
вероятностей и теория случайных процессов с дискретным временем.
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов
1. Рассмотрим некоторый эксперимент, все мыслимые исходы которого
описываются конечным числом различных исходов ..., соЛг. Для нас
несущественна реальная природа этих исходов, важно лишь то, что их число
N конечно.
Исходы со1, ..., соЛ- будем называть элементарными событиями, а их
совокупность
И = {сох Од:}
(конечным) пространством элементарных событий или пространством исходов.
Выделение пространства элементарных событий представляет собой первый шаг
в формулировании понятия вероятностной модели того или иного
эксперимента. Рассмотрим несколько примеров описания структуры
пространства элементарных событий.
Пример 1. Е1ри однократном подбрасывании монеты пространство исходов Q
состоит из двух точек;
?2 = {Г, Р}>
где Г -"герб", Р -"решетка". (Мы исключаем возможности типа "монета стала
на ребро", "монета исчезла" и т. п.)
Пример 2. При я-кратном подбрасывании монеты пространство элементарных
событий
П = {со: со = (а1, ..., ап), а,- = Г или Р}
и общее число N (Q) исходов равно 2л.
Пример 3. Пусть сначала подбрасывается монета. Если выпадет "герб", то
