Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
события А, состоящего в выпадании "герба" при бросании "правильной"
монеты, естественно считать равной '/г-
10
ВВЕДЕНИЕ
Число подобных примеров, в которых интуитивное представ-ление о численном
значении вероятности того или иного события складывается весьма легко,
можно без труда приумножить. Однако все они будут носить сходный характер
и сопровождаться неопределенными (пока) понятиями типа "честное"
подбрасывание, "правильная" монета, "независимость" и т. п.
Призванная изучать количественные характеристики "случайности", теория
вероятностей, как и всякая точная наука, стала таковой лишь тогда, когда
было четко сформулировано понятие вероятностной модели, когда была
создана ее аксиоматика. В этой связи естественно хотя бы кратко
остановиться на основных этапах становления теории вероятностей.
Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине XVII
века и связано с именами Паскаля (1623-1662), Ферма (1601 -1665),
Гюйгенса (1629-1695). Хотя отдельные задачи, касающиеся подсчета шансов в
азартных играх, рассматривались ранее - в XV-XVI вв. итальянскими
математиками (Кардано, Пачоли, Тарталья и др.), первые общие методы
решения таких задач были, по-видимому, даны в знаменитой переписке между
Паскалем и Ферма, начавшейся в 1654 г., и в первой книге по теории
вероятностей "De Ratiociniis in Aleae Ludo" ("О расчетах в азартной
игре"), опубликованной Гюйгенсом в 1657 г. Именно в этот период
вырабатывается важное понятие "математическое ожидание", устанавливаются
теоремы сложения и умножения вероятностей.
Истинная история теории вероятностей начинается с работы Я- Бернулли
(1654-1705) "Ars Conjectandi" ("Искусство предположения"), опубликованной
в 1713 г., в которой была доказана (и вполне строго) первая предельная
теорема теории вероятностей - закон больших чисел, и работы Муавра (1667-
¦ 1754) "Miscellanea Analytica Supplementum" (примерный перевод может
быть таков: "Аналитические методы" или "Аналитическая смесь"), 1730 г., в
которой впервые была сформулирована и доказана (в симметричной схеме
Бернулли) так называемая центральная предельная теорема.
Я- Бернулли был, вероятно, первым, кто осознал важность рассмотрения
бесконечных последовательностей повторных испытаний и кто делал четкое
различие между понятием вероятности события и частоты его появления.
Муавру принадлежит заслуга в определении таких понятий, как
независимость, математическое ожидание, условная вероятность.
В 1812 г. выходит большой трактат Лапласа (1749-1827) "Theorie Analytique
des Probabilites" ("Аналитическая теория вероятностей"), в которой он
излагает свои собственные результаты в области теории вероятностей, а
также результаты своих предшественников. В частности, он обобщил теорему
Муавра на
ВВЕДЕНИЕ
11
общий (несимметричный) случай схемы Бернулли, раскрыв тем самым более
полным образом значение результата Муавра.
Весьма значителен вклад Лапласа, состоящий в применении вероятностных
методов к теории ошибок наблюдений. Именно им была высказана плодотворная
идея, что ошибка наблюдении должна рассматриваться как суммарный эффект
сложения большого числа независимых элементарных ошибок. Отсюда
следовало, что при достаточно общих условиях распределение ошибок
наблюдений по крайней мере приближенно должно быть нормальным.
К этому же периоду в развитии теории вероятностей, когда центральное
место в исследованиях занимали предельные теоремы, относятся работы
Пуассона (1781-1840) и Гаусса (1777-1855).
С именем Пуассона в современной теории вероятностей связано понятие
распределения и процесса, носящих его имя. Гауссу принадлежит заслуга
создания теории ошибок и, в частности, обоснование одного из ее основных
принципов - метода наименьших квадратов.
Следующий важный период в развитии теории вероятностей связан с именами
П. Л. Чебышева (1821 -1894), А. А. Маркова (1856-1922), А. М. Ляпунова
(1857-1918), создавших эффективные методы доказательства предельных
теорем для сумм независимых произвольно распределенных случайных величин.
Число публикаций Чебышева по теории вероятностей невелико - их всего
четыре, но их роль в теории вероятностей и в создании классической
русской школы теории вероятностей трудно переоценить.
"С методологической стороны основной переворот, совершенный Чебышевым,
заключается не только в том, что он впервые с полной настойчивостью
выдвинул требование абсолютной строгости доказательства предельных
теорем... но главным образом в том, что Чебышев всюду стремился получить
точные оценки отклонений от предельных закономерностей, возможных при
хотя бы и большом, но конечном числе испытаний, в виде безусловно
правильных при любом числе испытаний неравенств" (Колмогоров А. Н. [30]).
До Чебышева основной интерес в теории вероятностей был связан с подсчетом
вероятностей случайных событий. Им же впервые было ясно осознана и
использована вся сила понятия случайной величины и математического
ожидания случайной величины.
