Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
значит, для каждых А п В из d (Ж) множество А{\В также принадлежит d(S),
т. е. система й(Ш) замкнута относительно взятия пересечений.
Теорема доказана.
Перейдем к рассмотрению наиболее важных для теории вероятностей измеримых
пространств (Q, aF).
2. Измеримое пространство (R, ДЗ (R)). Пусть R = (- оо, оо) -
действительная прямая и
(a, b] = {xi=K:
для всех -оо а < b << оо. Условимся под интервалом (а, со] понимать
интервал (а, со). (Это соглашение необходимо для того, чтобы дополнение
до интервала (-со, Ь] было интервалом того же вида, т. е. открытым слева
и замкнутым справа.)
Обозначим через о/Ж систему множеств в R, состоящих из конечных сумм
непересекающихся интервалов вида (а, Ь]:
П
А е e?f, если Л = ^ (ан Ь<], п<сю.
i = i
Нетрудно проверить, что эта система множеств, в которую мы включаем также
и пустое множество ф, образует алгебру,
5 2. АЛГЕБРЫ И СИГМА АЛГЕБРЫ
157
которая, однако, не является о-алгеброй, поскольку, если А" - = (0, 1 - 1
/л]е<2^, ТО (J = (0, 1)^йг/.
л
Пусть <^5 (7?) - наименьшая о-алгебра о (е^), содержащая систему е/?. Эта
о-алгебра, играющая важную роль в математическом анализе, называется
борелевской алгеброй множеств числовой прямой, а ее множества -
борелевскими.
Если обозначить через S систему интервалов 1 вида (о, Ь], а через о (в7)
- наименьшую о-алгебру, содержащую S, то нетрудно проверить, что a(S)
будет совпадать с борелевской алгеброй. Иначе говоря, к борелевской
алгебре можно прийти от системы S, минуя обращение к алгебре , поскольку
о (S) = - а (а (S)).
Заметим, что
(а, Ь) = [J (а, Ь- |],
П ==1
СО
[й. Ь] = П (а- ~п , ь],
Л -1
{й}= р (а_1, й .
Л = 1
Тем самым в борелевскую алгебру наряду с интервалами вида (а, Ь\ входят
одноточечные множества {а}, а также любое из шести множеств
(a, b), [a, b], [a, b), (- оо,' b), (-оо, 6], (а, со). (4)
Отметим также, что при конструировании борелевской алгебры S3 (R) можно
было бы отправляться не от интервалов вида (а, Ь], а -от любого из шести
указанных интервалов, поскольку все наименьшие ст-алгебры, порожденные
системами каждого из интервалов вида (4), совпадают с с-алгеброй S3 (R).
Иногда приходится иметь дело _с а-алгеброй S3 (R) множеств на расширенной
числовой прямой Я = [-оо, оо]. Так называют наименьшую с-алгебру,
порожденную интервалами вида
(a, b] = {x^R\ a<.x^b], -оо а < b оо,
где под (-оо, Ь] понимается множество {х е R: -со^х^Ь}.
Замечание I. Для измеримого пространства (R, S3 т часто используются
также обозначения (R, S3), (R1, S3J.
Замечание 2. Введем на числовой прямой R метрику
а<Ь,
а<Ь,
158 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(эквивалентную обычной евклидовой метрике J х - у |) и обозначим через
S30(R) наименьшую а-алгебру, порожденную открытыми множествами Sp(f) =
(rei?: Pi(x, х°)<р}, р>0, х° ^ R. Тогда S30 (R) = S3 (R) (см. задачу 7).
3. Измеримое пространство (Rn, S3(Rn)). Пусть Rn = Rx... ... X R -
прямое, или декартово, произведение п экземпляров (копий) числовой
прямой, т. е. множество упорядоченных наборов х-(хх, ..., хп), где -
oo<;a'a<Coo, k=\, ..., п. Множество. / = /хX...х Iп, где /*==(ak, bk], т.
е. множество {х е Rn: хк^1к, k-1, ..., п}, назовем прямоугольником, 1к -
сторонами этого прямоугольника. Через S обозначим совокупность всех
прямоугольников в I. Наименьшая ст-алгебра о {<??), порожденная системой
прямоугольников , называется борелевской алгеброй множеств в Rn и
обозначается S3(Rn). Покажем, что к этой борелевской алгебре можно было
бы прийти и иначе.
Наряду с прямоугольниками / = /1х...х/л рассмотрим прямоугольники В -
Вхх...хВп с борелевскими сторонами (Д* - борелевское множество числовой
прямой, стоящей на k-u месте в прямом произведении RX...XR). Наименьшая
ст-алгебра, содержащая все прямоугольники с борелевскими сторонами,
обозначается
<33 (R) 0. • • (8) & (R)
и называется прямым произведением а-алгебр S3(R). Покажем, что на самом
деле
S3 (Rn) = S3 (R) (g)... (g) S3 (R).
Иначе говоря, наименьшие а-алгебры, порожденные прямоугольниками / =
/х х... X Iп и (более широким) классом прямоугольников В = Вгх..
.хВп с борелевскими сторонами, совпадают.
Доказательство существенно опирается на следующее предложение.
Лемма 3. Пусть Ш - некоторый класс множеств из Q, множество B^Q, и пусть
по определению
Ш(]В = {А{\В\ АсеЖ}. (5)
Тогда
о (Ж [) В) ~ о (Ж) [) В. (6)
Доказательство. Поскольку |да(1), то
Ж[\В^о(Ж)[\В. (7)
Но а{Ж)[\В является а-алгеброй, поэтому из (7) следует, что
а (Ж П В) ? а (Ж) П В.
Для доказательства обратного включения снова воспользуемся принципом
подходящих множеств.
§ 2. АЛГЕБРЫ И СИГМА-АЛГЕБРЫ 159
Обозначим
ёв = {А^о(Щ: А[]В^о(ё[]В)}.
Поскольку а(ё) и о(^П В) являются о-алгебрами, то 'ё'в также о-алгебра,
причем, очевидно,
% = ёв ^ О (Щ,
откуда o(I)gffpj) = ?sEo(^) и, значит, а(Ш) = ёв. Поэтому для каждого
множества /1ес(1)
^П5ео(1 ЛЯ),
и, следовательно, о (g) П В = о (§ f| В).
Лемма доказана.
Доказательство совпадения о-алгебр S3{Rn) и S3 (х),.. 0 S3. Для п - 1 их
