Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
алгебра. Таким образом, по крайней мере одна алгебра и о-алгебра,
содержащие Ш, существуют. Образуем теперь систему а(&), (о(?)), состоящую
из тех множеств, которые принадлежат любой алгебре (о-алгебре),
содержащей Ш. Нетрудно проверить, что такая система есть алгебра (о-
алгебра) и к тому же наименьшая.
Замечание. Систему а(Ш) (соответственно о (Щ) часто называют наименьшей
алгеброй (соответственно о-алгеброй), порожденной системой множеств Ш.
Часто возникает вопрос о том, при каких дополнительных условиях алгебра
или какая-нибудь другая система множеств является в то же самое время и
о-алгеброй. Приведем несколько результатов в этом направлении.
Определение 1. Система оМ подмножеств ?2 называется монотонным классом,
если из того, что Лле4, п- 1, 2, и А" f А или Ап\ А следует, что Ле"#.
154 ГЛ It. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть Ш - некоторая система множеств. Будем обозначать через р (?)
наименьший монотонный класс, содержащий Ш. (Доказательство существования
такого класса проводится так же, как и в лемме 1.)
Лемма 2. Для того чтобы алгебра es? была в то же время и а-алгеброй,
необходимо и достаточно, чтобы она была монотонным классом.
Доказательство. Каждая ст-алгебра является, очевидным образом, монотонным
классом. Пусть теперь о/? является моно-
П
тонным классом и п- 1,2,... Ясно, что Вп = (J Л; е <зЛ
i= 1
и 5/1+1- Следовательно, по определению монотонного класса
ОО ОО
5"tU е ^' Аналогично устанавливается, что Q Л* е .
"=]
Используя эту лемму, докажем справедливость следующего результата,
показывающего, как, отправляясь от алгебры &Л, можно с помощью монотонных
предельных переходов получить а-алгебр у а (&0).
Теорема 1. Пусть о/? - алгебра. Тогда
р (ех?) = О (es?). (1)
Доказательство. Из леммы 2 р (a??) s a (аЖ). Поэтому достаточно показать,
что р (ее?) является а-алгеброй. Но система еЖ = р - монотонный класс,
поэтому опять-таки по лемме 2 достаточно только установить, что у(&Ж)
является алгеброй.
Возьмем А е <М и покажем, что тогда А е аЖ. С этой целью применим часто
используемый в дальнейшем принцип подходящих множеств, состоящий в
следующем.
Обозначим
оЖ --- В оЖ, В ?Е аЖ}
все те множества, которые обладают интересующим нас свойством. Ясно, ЧТО
Q/6 i= Л Е а#. УсТЭНОВИМ, ЧТО a/fi- МОНОТОННЫЙ КЛЭСС. Пусть Вп^аЖ, тогда
Вп^оЖ, Bn<=<Jt, и поэтому \\т\Вп<=оЖ, \\т\Вп<=оЛ, lim j В" е Д.
Следовательно,
lim | Вп - lim { Вп е <Jl, lim j Вп - lim f 5Л <= а€,
lim f Вп = lim j Вп <= оЖ, lim \ Вп = lim f Вп е а#,
а значит, <М - монотонный класс. Но Л е аЖ и а# - наименьший монотонный
класс. Поэтому Л=оЖ, и если /1е^ = р(з/), то
§ 2. АЛГЕБРЫ И СИГМА-АЛГЕБРЫ 153
и je <Ж, т. е. класс аЖ замкнут относительно операции взятия дополнения.
Покажем теперь, что класс еЖ замкнут относительно взятия пересечения.
Пусть /led и
ЛА = {В: Bed, ЛПВес#}.
Из равенств
lim | (А П Вп) = А П lim j Вп, lim f (А П Вп) = А П lim f Вп
следует, что <Л А - монотонный класс.
Далее, легко проверяется, что
( А ?= (r)Ж в) Ч-^ (В & о^д). (2)
Пусть теперь Леа/, тогда поскольку - алгебра, то для всякого В ^ о/?
множество А П В е/ё и, значит,
е/l Е оЖА Е "4С
Но а#д - монотонный класс (поскольку lim f АВп = A lim f Вп и lim j АВп =
A lim j Вп), а <Ж - наименьший монотонный класс. Значит, <МА = <М для
любого Аев/. Но тогда из (2) вытекает, что для А о/l и В <= <Jt
(А ?= <*Ж в) (В ?= оЖ А =
Следовательно, если А е= &?/, то для любого Bed
И ъЖд.
В силу произвольности Aerf отсюда следует, что
f' оЖ$ G^.
Значит, для всякого Bed
оЖ В = G^,
т. е. если Bed и Се^сЖ, то Cflflee#.
Итак, класс оЖ замкнут относительно операций взятия дополнения и
пересечения (а значит, и объединения). Следовательно, оЖ - алгебра, что и
доказывает теорему.
Определение 2. Пусть й - некоторое пространство. Класс подмножеств й
называется d-системой, если
a) QeJgr;
b) А, В<=&, ЛдВ=>В\Ле#;
c) Ап<^&, Ап^Ап+1=*\}Аа^&.
Если Ш - некоторая система множеств, то через d (&) будет обозначаться
наименьшая d-система, содержащая ё.
156 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН
Теорема 2. Если Ж есть система множеств, замкнутая относительно
образования пересечений, то
d(8) = o(g). (3)
Доказательство. Каждая а-алгебра является d-системой, и, следовательно, d
(2з) s cr ($). Поэтому, если доказать, что система d (Ж) замкнута
относительно взятия пересечений, то d (Ж) будет а-алгеброй и тогда,
конечно, будет справедливо противоположное включение а (I) ? d (Ж).
Для доказательства снова воспользуемся принципом подходящих множеств.
Пусть
Жх = {В е d (Ж): В П А е d (Ж) для всех
Если Bel, то В [) А ^ Ж для всех Ле| и, значит, Ж Е Жх. Но Жх есть d-
система. Поэтому d (Ж) s Шх. С другой стороны, по определению lj?d(l).
Следовательно,
Sx - d (&).
Пусть теперь
Жъ = {В е d (Ш): В П А е d (Ж) для всех /led (Ж)}.
Снова легко проверяется, что Ж2 есть d-система. Если Bel, то по
определению Жх для всех А "= Жх = d (?) получим, что В f) Л е е d (<?).
Следовательно, Ж <=Ж.2н d {Ж) ^Ж2. Но d (Ж) з Ss, поэтому d(S) = S2, и,
