Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
произошло В
А А В симметрическая разность множеств, т. е. множество (Л\В) (J (В\Л)
событие, состоящее в том, что произошло одно из событий Л или В, но
не оба одновременно
СО объединение множеств Ах, событие, состоящее в на-
U Afl п= I Л2, ... ступлении по крайней мере одного из событий Л1(
Л2,...
00 сумма, т. е. объединение событие, состоящее в на-
2 Ап попарно непересекаю- ступлении одного из
п~\ щихся множеств Л1, Л2, ... несовместных событий Ах, Л2, ...
§ 1. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА
151
Продолжение
Обозначения Интерпретация теории множеств Интерпретация теории
вероятностей
00 П п= 1 ЛП|Я ^или Л = lim f ^илн A - lim | Ап^ lim Ап п (или lim sup
Ап, или {Ап б. ч.}) lim А" п (или lim inf Ап) пересечение множеств
Лъ Ачу ... возрастающая последовательность множеств Ап, сходящаяся к А,
т. е. Aj = Л2 = ... и 00 л = U Лп п - 1 убывающая последовательность
множеств А", сходящаяся к А, т. е. = Я, = ... и 00 А~ П Ап п= 1 множество
00 00 Л U я, п=I k-n множество 00 со и П А" п = 1 k-п событие,
состоящее в том, что одновременно произошли al, а2,... возрастающая
последовательность событий, сходящихся к событию А убывающая
последовательность событий, сходящихся к событию А событие, состоящее в
том, что произойдет бесконечно много событий из Аи А2,... событие,
состоящее в том, что произойдут все события Аи Аг,... за исключением,
быть может, только конечного числа
4. Задачи.
1. Пусть Q = {г: г <= [0, 1]} - множество рациональных точек на [0, 1],
- алгебра множеств, каждое из которых является
конечной суммой непересекающихся множеств А вида {г: а<.г < <Ь}, {г:
a/^r<.b), {г: a<irs^b}, {г: as^r s^b} и Р (Л) = b - а. Показать, что Р
(А), А е gF, является конечно-аддитивной, но не счетно-аддитивной
функцией множеств.
2. Пусть Q -некоторое счетное множество и aF - совокупность всех его
подмножеств. Положим ц.(Л) = 0, если А конечно и р(Л) = со, если А
бесконечно. Показать, что функция множеств ц конечно-аддитивна, но не
счетно-аддитивна.
3. Пусть ц -конечная мера на ст-алгебре aF, п = 1,
2, ... и А - \\тАп (т. е. А = lim Ап = lim Лл). Показать, что
152 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
4. Доказать, что Р (Л д 5) = Р (Л) + Р (5) - 2Р (Л П В).
5. Показать, что "расстояния" р 1(А, В) и р2(Л, В), определенные по
формулам
р 2(Л, В) = Р (АлВ),
р2 (Л, В) = ( p((AUB) ' есЛН p(^U5)=^0,
I 0, если Р (Л U В) = О,
удовлетворяет неравенству треугольника.
6. Пусть р - конечно-аддитивная мера на алгебре &/, множе-
СО
ства ^2, ."g^, попарно не пересекаются и Л =
i = 1
со
Тогда р(Л)2з 9 (А)-
i = 1
7. Доказать, что
lim sup Ап = lim inf Л", lim inf Л" = lim sup An, lim inf An e lim sup
Лл, lim sup (Л" (J Bn) = lim sup Лл (J lim sup Вл, lim sup Л" П lim inf
s lim sup (Л" П Bn) s lim sup A" f] lim sup Bn.
Если An\ А или An\ A, to
lim inf A" = lim sup An.
8. Пусть {xnj - числовая последовательность и Л" = (-оо, хп). Показать,
что х = lim sup х" и Л = Пп1зирЛл связаны следующим образом: (- со, х)сЛд
(- со, а]. Иначе говоря, Л равно или (-со, х) или (-со, а].
9. Привести пример, показывающий, что для мер, принимающих значение +со,
из счетной аддитивности не вытекает, вообще говоря, непрерывность в
"нуле" ф.
§ 2. Алгебры и <х-алгебры. Измеримые пространства
1. Алгебры и о-алгебры являются составными элементами при построении
вероятностных моделей. Приведем примеры и ряд результатов, относящихся к
этим объектам.
Пусть Q - некоторое пространство элементарных событий. Очевидным образом
системы множеств
ф, Q}, = {А: Лей}
являются и алгебрами, и о-алгебрами. При этом * -тривиальная, самая
"бедная" о-алгебра, a ef* - самая "богатая" о-алгебра, состоящая из всех
подмножеств П.
§ 2. АЛГЕБРЫ И СИГМА-АЛГЕБРЫ
153
В случае конечных пространств ?2 о-алгебра <!F* вполне обозрима, и, как
правило, именно ее рассматривают в элементарной теории в качестве системы
"событий". В случае же несчетных пространств класс JF* оказывается
слишком широким, поскольку на системе таких множеств не всегда удается
"согласованным образом" задать вероятность.
Если Л ? ?2, то система
*F а - {А, Л, ф, ?2}
является также примером алгебры (и о-алгебры), называемой алгеброй (о-
алгеброй), порожденной множеством Л.
Эта система множеств является частным случаем систем, порождаемых
разбиениями. А именно, пусть
& = {DU D2, ...}
- некоторое счетное разбиение ?2 на непустые множества:
?2 = Dl -j- D2 ; Di П D; - ф, i j.
Тогда система &F = ct (?-?), образованная из множеств, являющихся
объединением конечного числа элементов разбиения, является алгеброй.
Следующая лемма имеет важное значение, поскольку в ней устанавливается
принципиальная возможность построения наименьших алгебры и о-алгебры,
содержащих заданную систему множеств.
Лемма 1. Пусть Ш - некоторая система множеств из ?2. Тогда существуют
наименьшая алгебра, обозначаемая сс(Щ, и наименьшая о-алгебра,
обозначаемая о(ё'), содержащие все множества из Ш.
Доказательство. Класс всех подмножеств aF* пространства ?2 есть о-
