Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
и л" ?Е aF, П А" е= aF
(в условии Ь*) достаточно требовать, чтобы либо (J Л" е aF, либо П ieF).
Определение 5. Пространство Q вместе с ст-алгеброй его подмножеств aF
называется измеримым пространством и обозначается (Q, aF).
Определение 6. Конечно-аддитивная мера р, заданная на алгебре о/?
подмножеств множества Q, называется счетно-аддитивной (о-аддитивной) или
просто мерой, если для любых попарно
СО
непересекающихся множеств А1У Л2, ... из Л таких, что ^
П = 1
Р ( 2 А")- ^ Р Ил)-\Л = 1 / 0 = 1
§ 1. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА 14'
Конечно-аддитивная мера р называется о-конечнои, если пространство П
можно представить в виде
СО
П = 2 Q",
л = 1
с p(Qn)<oo, п=\, 2, ...
Счетно-аддитивная мера Р на алгебре e/Z, удовлетворяющая условию Р(й) =
1, будет называться вероятностной мерой или вероятностью (определенной на
множествах алгебры о/?). Остановимся на некоторых свойствах вероятностных
мер,
Если ф - пустое множество, то
Р(0) = О.
Если А, В е <27%, то
Р(А{]В) = Р(А) + Р(В)-Р(А(\В).
Если А, Веа/ и В s А, то
Р(В)^Р(А).
Если Л"ее/, п=1, 2,... и то
Р Ml U4U'..)CP Ml) + Р Мг) +• • •
Первые три свойства очевидны. Для доказательства послед-
СО СО
него достаточно заметить, что 2 ^п, где Bl = AL, Вп -
_ _ Л 1 П - 1
= Лх Л • • - Л А"-г Л Ап, п^2, Bif] Bj - ф, i=?j, и, значит,
/со \ /со \ со со
р U ""НР рм")<Е РМ-).
л - 1 / \л = 1 i п = 1 л = 1
Приводимая ниже теорема, имеющая многочисленные применения, дает условия,
при которых конечно-аддитивная функция множеств является в то же самое
время и счетно-аддитивной.
Теорема. Пусть Р - конечно-аддитивная функция множеств, заданная на
алгебре &#, с Р(й) = 1. Тогда следующие четыре условия эквивалентны:
1) Р о-аддитивна (Р - вероятность)',
2) Р непрерывна сверху, т. е. для любых множеств Av Л2, ...
СО
таких, что Л" ? Л"+1, (J Ллее/
П = 1
lim Р {Ап) = pf М лД
" \п = 1 /
148 ГЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
3) Р непрерывна снизу, т. е, для любых множеств Ль Л2, ..
ОО
...e(c)F таких, что Ап э Ап+1, [^] Ап^ог?
П = 1
/ СО
lim Р (Ап) = Р ( Г) Л"
п \п= 1
4) Р непрерывна в "нуле", т. е. для любых множеств Alt Л2, ..
СО
таких, что Ап+1 s Д",
я = 1
НтР(Д;!) = 0.
П
Доказательство. 1) => 2). Поскольку
СО
U А" = А1А (Л2\Л Л Д- (Л3 \ Л2) + ...,
п= 1
то
/со \
Р| U Anj = Р (ЛД + Р (Л2 \ Л,) + Р (Л3\ Л2) + ... =
= Р Mi) 4" Р Мг) - Р Ml) + Р Мз) - Р М2) + •••==
= lim Р (Л").
п
2)=t>3). Пусть /г 1, тогда
Р (Л") = Р (Лг \ (А, \ Л")) = Р (Лх) - Р (Л, VЛя).
Последовательность множеств {Л1\ЛП}"^.1 является неубываю щей (см. в
следующем п. 3 таблицу) и
СО СО
U (Л1\ЛЯ) = Л1\ П
п = 1 П = 1
Тогда в силу 2)
/ "
НшР(Л1\Ля) = Р (J (Л,\ЛЯ)
п 'л = I
и, значит,
§ 1: АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА
3) => 4) Очевидно.
4)=> 1) Пусть Ах, А2, . ..e(r)F попарно не пересекаются и
3. Теперь можно сформулировать ставшую общепринятой систему аксиом
Колмогорова, лежащих в основе понятия вероятностного пространства.
Основное определение. Набор объектов
называется вероятностной моделью или вероятностным пространством. При
этом й называется пространством исходов или пространством элементарных
событий, множества А из ^ - событиями, а Р (А) - вероятностью события А.
Из данного определения видно, что аксиоматика теории вероятностей
существенно опирается на аппарат теории множеств и теории меры. В связи с
этим полезно дать таблицу, показывающую, как различные понятия
интерпретируются в теории множеств и в теории вероятностей. Примеры
наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств и способы
задания вероятностей на них будут даны в последующих двух параграфах.
ОО
2 Ап е . Тогда
СО
и поскольку ^ Ai\0, tt-vоо, то
f = n+ 1
(Й, -F, Р),
где
a) Й - множество точек со,
b) aF -о-алгебра подмножеств й,
c) Р - вероятность на aF,
150 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Таблица
Обозначения Интерпретация теории множеств Интерпретация теории
вероятностей
(0 элемент, точка исход, элементарное событие
Q множество точек пространство исходов, элементарных событий;
достоверное событие
& ст-алгебра подмножеств ст-алгебра событий
множество точек событие (если веЛ, то говорят, что наступило
событие Л)
Л=?2\Л дополнение множества А, т. е. множество точек ш, не входящих в
А событие, состоящее в не-наступлении события Л
А\]В объединение множеств А и В, т. е. множество точек со, входящих или
в А или в В событие, состоящее в том, что произошло либо Л, либо В
А Л В (или А В) пересечение множеств А и В, т. е. множество точек со,
входящих и в А ив В событие, состоящее в том, что одновременно
произошло и Л и В
О пустое множество невозможное событие
АГ\В = ф множества А и В не пересекаются события Л и В несовместны
(не могут наступать одновременно)
А+В сумма множеств, т. е. объединение непересекающихся множеств
событие, состоящее в том, что произошло одно из двух несовместных
событий
А\В разность множеств Л и В, т. е. множество точек, входящих в Л, но не
входящих в В событие, состоящее в том, что произошло Л, но не
