Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова
1. Введенные в предшествующей главе модели позволили нам дать
вероятностно-статистическое описание тех экспериментов, число исходов
которых конечно. Так, тройка (й, о/l, Р) с й = {со: со = = К, ..., ап),
cij = 0, l|,e/ = (T/lsQ| и р(со) -^pZaiqn~^ai - это модель эксперимента,
состоящего в л-кратном "независимом" подбрасывании монеты с вероятностью
выпадания "герба", равной р. В этой модели число N (й) всех исходов, т.
е. число точек множества Й, конечно и равно 2я.
Зададимся теперь вопросом о построении вероятностной модели для
эксперимента, состоящего в бесконечном "независимом" подбрасывании монеты
с вероятностью выпадания "герба" на каждом шаге, равной р.
В качестве множества исходов естественно взять множество
Й = {со: <в = (а1, а2, ...), а; = 0, 1},
т. е. пространство всех последовательностей со = (а1, аг, ...), элементы
которых принимают два значения 0 или 1.
Чему равна мощность N (Й) множества Й? Хорошо известно, что всякое число
ае[0, 1) может быть однозначно разложено в (содержащую бесконечное число
нулей) двоичную дробь
а = у + §+¦•• (ai = 0, 1).
Отсюда ясно, что между точками со множества Й и точками а множества [0,
1) существует взаимно однозначное соответствие, а значит, мощность
множества Й равна мощности континуума.
Таким образом, если желать строить вероятностные модели, списывающие
эксперименты типа бесконечного подбрасывания мо-
§ I. АКСИОМАТИКД КОЛМОГОРОВА
неты, то приходится привлекать к рассмотрению пространства ?2 довольно
сложной природы.
Попытаемся теперь понять, как разумно следовало бы задавать (приписывать)
вероятности в модели бесконечного числа "независимых" подбрасываний
"правильной" (р + <7=1/2) монеты.
Поскольку в качестве Q можно взять множество [0, 1), то интересующая нас
задача может рассматриваться как задача о значениях вероятностей в модели
"случайного выбора точки из множества [0, 1)". Из соображений симметрии
ясно, что все исходы должны быть "равновозможными". Но множество [0, 1)
несчетно, и если считать, что его вероятность равна единице,
то'получается, что вероятность р(со) каждого исхода сое[0, 1) непременно
должна быть равна нулю. Однако из такого способа задания вероятностей (р
(со) = 0, сое [0, 1)) мало что следует. Дело в том, что обычно мы
интересуемся не тем, с какой вероятностью произойдет тот или иной исход,
а тем, какова вероятность того, что исход эксперимента будет принадлежать
тому или иному заданному множеству исходов (событию) Л. В элементарной
теории вероятностей по вероятностям р (со) можно было найти вероятность Р
(А) события А: Р(Л)= ^ р(со). В рассматривав-
со А
мом сейчас случае при р(со) = 0, со е [0, 1), мы не можем определить,
например, вероятность того,- что "случайно выбранная точка из [0, 1)"
будет принадлежать множеству [0, 1/2). В то же самое время интуитивно
ясно, что эта вероятность равна 1/2.
Эти замечания подсказывают, что при построении вероятностных моделей в
случае несчетных пространств Q вероятности надо задавать не для отдельных
исходов, а для некоторых множеств из П. Та же аргументация, что и в
первой главе, показывает, что запас множеств, на которых задается
вероятность, должен быть замкнутым относительно взятия объединения,
пересечения и дополнения. В связи с этим полезно следующее
Определение 1. Пусть Q - некоторое множество точек со. Система erf
подмножеств Q называется алгеброй, если
a) Йе erf,
b) А, Веа/=>Лий?0/, ЛПВее/,
c) А е erf => Л е erf
(заметим, что в условии Ь) достаточно требовать лишь, чтобы либо Л(|Ве
srf, либо Л П 5 е erf, поскольку Л (J В - А П В, А пв = лЦв).
Для формулировки понятия вероятностной модели нам необходимо
146 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определение 2. Пусть от? - алгебра подмножеств Q. Функция множеств р =
р(Л), Аее/, принимающая значения в [0, со], называется конечно-аддитивной
мерой, заданной на от?, если для любых двух непересекающихся множеств Л и
В из о/?
р(Л +В) = р(Л) +р(5). (1)
Конечно-аддитивная мера р с p(Q)<co называется конечной, а в случае р (Q)
- 1 - конечно-аддитивной вероятностной мерой, или конечно-аддитивной
вероятностью.
2. Дадим теперь определение вероятностной модели (в расширенном
смысле).
Определение 3. Совокупность объектов
(Q, от?, Р),
где
a) Q - множество точек со;
b) от? - алгебра подмножеств Q;
c) Р - конечно-аддитивная вероятность на от?,
называется вероятностной моделью в расширенном смысле.
Оказывается, однако, что для построения плодотворной математической
теории, эта вероятностная модель является слишком широкой. Поэтому
приходится вводить ограничения как на классы рассматриваемых подмножеств
множества Q, так и на классы допустимых вероятностных мер.
Определение 4. Система aF подмножеств Q называется о-алгеброй, если она
является алгеброй и, кроме того, выполнено следующее свойство (усиление
свойства Ь) из определения 1):
Ь*) если Л" е aF, п- 1, 2, ..., то
