Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 22

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 179 >> Следующая

всякого е > О
Р{?;
1№
(3)
Доказательство. Заметим, что
6 = 6/(|^е) + |/(|<Е)^|/(|^е);
¦ &I (gSse),
где / (А) - индикатор множества А.
Поэтому по свойствам математических ожиданий
Mg 5= еМ/ (g 5= е) = еР (g 5-; е),
что и доказывает (3).
Следствия. Если g-произвольная случайная величина, то для е >О
Р{ ? ' -С - :-М/ -
Р {i g ! е} = Р {g2 P{ig-Mg|52B}^
М|2
Е-
(4)
21 Е-
Воспользуемся последним неравенством, взяв g = S"/n. Тогда с учетом
(4.14) получим
d(M
- п\ >el< \ п 1 = Р5'; _ =
п " ' j е2 п2е2 сг2е2 "е2 '
Итак,
- Р
pq
пе2
4/ге2
(5)
откуда видно, что при больших п вероятность отклонения частоты "успеха"
Sn/n от его вероятности р больше чем на е достаточно мала.
§ 5. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. I. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
59
Обозначим для всех n^sl и O^ks^ti Тогда
S"
Рп (k) = Cknpkqn~k'
P(|^-p&EJ= I Р.Щ,
и, в сущности, мы установили, что
Рп (к):
1
¦ pq_._________
: пе2 ~~~~ 4пе2 '
(6)
т. е. доказали некоторое неравенство, которое можно было бы получить
аналитически, без использования вероятностной интерпретации.
Из (6) ясно, что
Г
2 Pn(k)-+ 0, п -> со.
(7)
}
Графически это утверждение можно пояснить следующим образом. Изобразим
биномиальное распределение {P"(k), 0=^^=^ === /г}, как это сделано на
рис. 6.
/
!/"¦# Mil 1 ! 1 1 -
О 1 L
пр-пе
-ф-
)
пр+пЕ
Рис. 6.
Тогда с ростом п вся картина "расплывается", в то же время "сжимаясь" по
высоте. При этом сумма величин Рп (k) по & таким, что пр - ne^k^np + ne,
стремится к единице.
Будем представлять последовательность случайных величин S0, Slt ... , Sn
как траекторию некоторой блуждающей частицы. Тогда результат (7) означает
следующее.
Проведем прямые kp, k(p-\-e) и k(p - e). Тогда в среднем траектория
движется вдоль прямой kp, и для любого е > 0 можно утверждать, что для
достаточно больших п с большой вероятностью точка Sn, характеризующая
положение частицы в момент п, будет лежать в интервале [п(р - е), п(р +
е)]; см. рис. 7,
со
ГЛ I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Утверждение (7) хотелось бы записать в таком виде:
л
(8)
Однако надо иметь в виду, что здесь существует определенная тонкость.
Дело в том, что эта запись была бы вполне оправданной, если бы Р была
вероятностью на некотором пространстве (й, &т?), на котором определена
бесконечная последовательность независимых бериуллиевских случайных
величин ?1(
?2, .. ¦ Эти объекты действительно можно построить и тем самым придать
утверждению (8) совершенно строгий вероятностный смысл (см. далее
следствие 1 к теореме 1 § 9 в гл. II). Пока же, если желать придать смысл
аналитическому утверждению (7), пользуясь языком теории вероятностей, мы
доказали лишь следующее.
Пусть (Й(Я), а?(п), Р1"')- я 1 последовательность схем Бернулли таких,
что
0 12 3
п к
Рис. 7.
= {(У"); co(") = (-a(.n а<п,у а\п> = 0, 1},
е^л' = {Л: A ~ojn)}, p(n) (со(,!)) = pS a<in)qn ~ Ti a(in)
и
Sf) ((c)(")) = (и!*)) + . . . + Щ1) (С0(п")>
где для каждого 1 - последовательности незави-
симых одинаково распределенных бериуллиевских случайных Ееличин.
§ 5. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. I. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
61
Тогда
р(я) со(го; -----------1_р ^6 = у Pn(k)->G, п^оо.
\ tl ) дна
{*: |i -р\>г}
(9)
Утверждения типа (7) - (9) носят название закона больших чисел Я.
Бернулли. Отметим, что доказательство Я. Бернулли именно и состояло в
установлении утверждения (7), что было сделано им вполне строго с
использованием оценок для "хвостов" биномиальных вероятностей Рп (/г)
(при тех к, для которых
- р Р^е). Непосредственное вычисление суммы вероятностей
"хвостов" биномиального распределения ^ Л" (Ь) пред-
\k-.\--p \ > Л I I л I J
ставляет для больших п довольно трудоемкую задачу, к тому же получаемые
формулы мало пригодны для практической оценки того, с какой вероятностью
частоты Sjn отличаются от р меньше чем па е. Именно поэтому большое
значение имели открытые Муавром (в случае р- 1/2) и затем Лапласом (для
произвольного О-срС !) простые асимптотические формулы для вероятностей
P"{k), что позволило не только заново доказать закон больших чисел, но и
получить его уточнения-так называемые локальные и интегральные предельные
теоремы, суть которых состоит в том, что при больших п и но крайней мере
для k^tip
I _ (к ~ пр
Рп (к) ~ е ,
У 2лJipq
а
EYn/pq хг
j*: J *L _ р J < е} -eVn/pq
2. Следующий параграф посвящен точным формулировкам и доказательствам
этих результатов. Сейчас же мы остановимся на вопросе о том, каков
реальный смысл закона больших чисел, какова его эмпирическая
интерпретация?
Пусть производится большое число, скажем, N, серий экспериментов, каждая
из которых состоит из т независимых испытаний с вероятностью
интересующего нас события С, равной р". Пусть S'jn - частота появления
события С в г'-й серии и Л'Е - число серий, в которых частоты отклоняются
от р меньше чем на е:
S'
Л'е равно числу тех г, для которых
62
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
Тогда
^ р N Ге'
(10)
где Ре = Р[
Sk
Важно подчеркнуть, что попытка уточнить соотношение (10) неминуемо
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed