Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
9. Задачи.
1. Проверить следующие свойства индикаторов /А=/А(со):
7ф = 0, /я = 1, 1а-\-1д= 1,
Iав= 1а - Iв<
I AUB = IЛ + 7в - IАВ,
/ =1-П('-Ч). -ПО-Ч).
U А1 и А,
1=1 1 = 1
'" -24
2 а, '-I
С = 1
1а д в = (1а ~ /д)2,
§ 4. СЛУЧАЙНЫЕ величины и ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ эь
где А д В - симметрическая разность множеств А и В, т. е. множество (А\В)
U (В\А).
2. Пусть Sj, \п - независимые случайные величины и
imi" = min(i1 ?"), |max = max(c1, \п).
Показать, что
Р{ёт1п^А'} = П Р{Ь^Х\,
i =1
п
Р {gmax < А'} = П Р & < Х)'
i - 1
3. Пусть |х, ..., -независимые бернуллиевские случайные величины с
Р{& = 0} = 1-Ь,Д,
Р {Ег- = 1} = Я(-А,
где А -малое число, Д>0, Яг > 0.
Показать, что
Р{?1+...-Ыя = 1}=(?мд + 0(Д2),
>1= 1 /
Р{Ег + ... + !"> 1} = 0(Д2).
4. Показать, что inf М (g -¦ а)2 достигается при а = М1
- со <а < со
и, следовательно,
inf М (g - а)2 = Dg.
- со < а < со
5. Пусть | -случайная величина с функцией распределения
F%(x) и те - медиана Д(а), т. е. такая точка, что
h {те - Ю-
Показать, что
inf М ; g - а | = М j I - те [.
- со <а <со
6. Пусть Р%(х) = Р{1 = х} и (а) = Р ==== А'}. Показать, что
для й>0 и - со < Z? <С оо
Ра1+Ь (х) = Рг (^),
Fal+b (А) =
Если у^О, то
Fv (У) = F%{ + V~y)- F% (- Vy) + р% (- Vh)-
56
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть Е+ - max (Е, 0). Тогда
Г 0, х < 0,
Fi+(x)=* ^(0), х = 0, а'>0.
7. Пусть Е и т) -две случайные величины с DE>0, Dp>0, и р -р(§, т]) - их
коэффициент корреляции. Показать, что j р j ^ eg; 1. При этом, если ! р j
= 1, то найдутся такие константы а и Ъ, что f\ = a\Jrb. Более того, если
р = 1, то
И - Mr) Е - М|
ТтГ " TW
(и, значит, а>0), если же р = -1, то
71 -Mr) Е - М|
тшг~ ~ Тщ
(и, значит, а<'0).
8. Пусть Е и т) -две случайные величины с МЕ = Мг) = 0, DE = Dr)=l и
коэффициентом корреляции р = р(Е, т]). Показать, что
М max (Е2, ri2) sg 1 -f ]/1 - р2.
П
9. Используя равенство /---------= I~I (1 - ^), доказать
фор-
ll ф i = 1
i = i
мулу Р (В0) = 1 - 5, + S2 + .. • rt Sn из задачи 4 § 1.
10. Пусть Ej, ..., - независимые случайные величины,
<fi = cPi(?i. •••> Ы и ср2 = Фг (!*+i> •••> ?л) ~ две функции от Е^ ...
..., Efr и ?а+1, ..., Е" соответственно. Показать, что случайные величины
(pt и фа независимы.
11. Показать, что случайные величины Е,, ..., Е" независимы
тогда и только тогда, когда для всех лу, ..., хп
,гп(х1> хп)^\(хг) ... Firl(xn),
ГД6 ... , (-^1) * • * j %n) " P {?L -o- • • •
" :=^ •
12. Показать, что случайная величина | не зависит от самой
себя (т. е. Е и | независимы) в тем и только том случае, когда
g == const.
13. При каких условиях на Е случайные величины \ и sing независимы?
14. Пусть Е и г] - независимые случайные величины и т) Ф 0. Выразить
вероятности событий Р{5г)<.г) и Р|у-<;г| через вероятности Р$(х) и Рп(у).
§ 5. СХЕМА'БЕРНУЛЛИ. I. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
57
§ 5. Схема Бернулли. I. Закон больших чисел
1. В соответствии с данными выше определениями тройка (Q, erf, Р) с Q
= {со: (0 = (*?!, ... , а"), а" = 0, 1},
^ = {Л:Лд ?2}, р (и) = р-
была названа вероятностной моделью, отвечающей п независимым испытаниям с
двумя исходами, или схемой Бернулли.
В этом и следующем параграфе мы изучим некоторые предельные (в
указываемом ниже смысле) свойства схем Бернулли, которые оказывается
удобным вести в терминах случайных величин и вероятностей событий,
связанных с ними.
Введем случайные величины ... , Е", полагая для со = (а,,...
что (со) == ah / = 1, ... , п. Как мы уже видели, бернул-
лиевские величины (со) независимы и одинаково распределены:
Р{?г-=1} = р, Р{с; = 0} = р, 1 = 1,..., п.
Понятно, что случайная величина fa характеризует результат испытания на
i-u шаге (в i-и момент времени).
Положим S0 (со) = 0 и
Sk = ?i + ••• + \ki k==\, ... , п.
Как было найдено выше, MS" = np и, следовательно,
М^ = р. (1)
Иначе говоря, среднее значение .частоты появления "успеха", т. е. S"/n,
совпадает с вероятностью "успеха" р. Отсюда естественно возникает вопрос
о том, как велики отклонения частоты Sjn появления "успеха" от его
вероятности р.
Прежде всего отметим, что не приходится рассчитывать на то, что при
достаточно малых е >¦ 0 и даже при больших значениях п отклонения частоты
Sjti от вероятности р будут меньше е для всех со, т. е. что будет
выполнено неравенство
Sn (со)
coeQ. (2)
Действительно, при 0 < р < 1
РВг= = S"=l} = Pn,
р { = °} - Р {?i - °> ••• ) |я = 0} = ?",
откуда следует, что неравенство (2) не выполняется при доста точно малых
е>0.
58
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Однако мы замечаем, что при больших п вероятности событий l = 11 и = о|
малы. Естественна поэтому мысль, что сум-
марная вероятность исходов ю, для которых будет при достаточно больших п
также мала.
Sn ("а)
>е,
{со:
В связи с этим постараемся оценить вероятность события
Sn (")
>е
|, для чего воспользуемся следующим неравенством, открытым П. JI.
Чебышевым.
Неравенство Чебышева. Пусть (Q, &?, Р) - некоторое вероятностное
пространство и g = g (со) - неотрицательная случайная величина. Тогда для
