Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому '
МSn = 2 kP (Д = k)=X kChnpkqn-h =
/г=0 /г-0
П
= У k- jj-. n'- r-pkqn-k =
^ k\(n - k)\' 7 * = 0
n
- flP ^ -------------------------------------- -
k= 1
; = o
Впрочем, первый способ приводит к результату быстрее, нежели последний.
6,- Пусть 1 = 2 *Д (Д)> гДе 71,- = {ш: g (со) = лу}, и ср = cp (g (со)) -
i
некоторая функция от g(w). Если Ву = {со: ф (g (со)) = г/у}, то
Ф (? И) = 2 У]1 (Д)>
/
и, следовательно,
Мф = 2 уур (Д) = 2 рф (%) • (9)
/ /
Но ясно также, что
Ф (§((c))) = 2 фД)7 (Ai)•
52
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Поэтому наряду с (9) для 'подсчета математического ожидания случайной
величины ср = ср (Е) можно пользоваться формулой
Мер (|) = 2 Ф (*<¦) р\ (*<)•
С
7. Следующее важное понятие дисперсии случайной величины ?
характеризует степень разброса значений | относительно ее математического
ожидания.
Определение 5. Дисперсией случайной величины | (обозначается DS)
называется величина
DE = М (g - Мё)2.
Величина <т = -J- ]/"D| называется стандартным отклонением. Поскольку
M(g-MS)2 = М (S2 - 2? • МЕ + (МЕ)2) - М|2 - (МЕ)2,
то
DE = Щ2 - (MS)2.
Ясно, что D| 0. Из определения дисперсии также следует,
что
D (a -f bt) - 62D?, a, b - постоянные.
В частности, Da = 0, D(6E) = b2D?.
Пусть ? и г] - две случайные величины. Тогда
D (t -I-'"]) = М ((1 - MS) + (л - Мл))2 =
= DS + Dq -f 2М (S - MS) (л - Мл).
Обозначим
соv (S, л) -¦= М (Е - MS) (л - Мл).
Эта величина называется ковариацией случайных величин Е и тр
Если DE>-0, 0л>0, то величина
называется коэффициентом корреляции случайных величин | и л-Нетрудно
показать (см. далее задачу 7), что если р (Е, ¦"j) = ii;l, то величины Е
и Л линейно зависимы:
Л = а'с.ф-Ь,
где а ~р> 0, если р (?, л)=1> и ^<0, если р (?, л) = --1-
Сразу отметим, что если Е и л независимы, то независимы Е - МЕ и л - Мл,
а значит, по свойству 5) математических ожиданий
cov (Е, л) = М (е - МЕ) • М (л - Мл) = 0.
С учетом введенного обозначения для ковариации
D (Е + л) = DE + Ол + 2 cov (Е, л)> 0°)
§ 4. случайные величины и их характеристики
53
если же ? и г) независимы, то дисперсия суммы g + Л равна сумме дисперсий
0(Е + Л) = 0? + Оп. (11)
Как следует из (10), свойство (11) остается выполненным, и при меньшем
предположении, нежели независимость | и rj. Именно, достаточно
предположить, что величины I и ц некорре-лированы, т. е. cov (с, т|) = 0.
Замечание. Из некоррелированности | и р, вообще говоря, не следует их
независимость. Вот простой пример. Пусть случайная величина а принимает
значения 0, я/2 и я с вероятностями 1/3. Тогда |~sino и >i = cosa
некоррелированы; в то же время они не только стохастически зависимы (т.
е. не независимы относительно вероятности Р):
Р {I = 1, п = 11 = С ф 1/9 = Р {1 - 1} Р {т3 = 1},
но и функционально зависимы: с2 + 112=1-
Свойства (10), (11) очевидным образом распространяются на произвольное
число случайных величин ?lt ..., \п\
D V Л = % D& + 2 2 covfe, lj). (12)
й' = 1 / i=l 1>/
В частности, если величины ..., ?в попарно независимы (достаточно их
попарной некоррелированности), то
D It ? Db. (13)
V< = i > i=i
Пример 5. Если |-бериуллиевская случайная величина,
принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями р и q, то
Dg = М (| - Me)2 = М (? - р)2 = (1 - р)2 р + p-q = pq.
Отсюда следует, что если ?,, ..., - последовательность неза-
висимых (одинаково распределенных) бернуллиевских случайных величин и 5"
= 1г+ •¦-¦ + ?/>, то
D Sn = npq. (14)
8. Рассмотрим две случайные величины % и гр Предположим, что
наблюдению подлежит лишь случайная величина Если величины | и г)
коррелированы, то можно ожидать, что знание значений % позволит вынести
некоторые суждения и о значениях ненаблюдаемой величины т).
Всякую функцию f = от % будем называть оценкой для тр Будем говорить
также, что оценка оптимальна в сред-
неквадратическом смысле, если
М (т) - /* (Ю)2 = inf М (л - / (I))2.
t
54
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Покажем, как найти оптимальную оценку в классе линейных оценок Я(Н) = а-
|-Ь?. Для этого рассмотрим функцию g (а, Ь)- = М (ц - (а + Ь|))2.
Дифференцируя g(a, b) по а и Ь, получаем
dg(a, *)__2М[т1-(а + Ь6)],
да
*<*J> = -2M[b-(a + b№].
откуда, приравнивая производные к нулю,, находим, что оптимальная в
среднеквадратическом смысле линейная оценка есть Я* (|) = а* + Ь*1, где
а* = Мц - Ь*Щ, b* = C°Vp|' (15)
Я* (c) = Mn + C0V-{|--Tl)(l-M?). (16)
Иначе говоря,
Величина М(ц - Я* (Н))2 называется среднеквадратической ошибкой
оценивания. Простой подсчет показывает, что эта ошибка равна
Д* = М(л-Я;,:Ш)2 = 0^-2^|^1) = 0л[1-Р2(1, Л)]- (17)
Таким образом, чем больше (по модулю) коэффициент корреляции р (S, г])
между | и т), тем меньше среднеквадратическая ошибка оценивания Д*. В
частности, если | р (S, т])| = 1, то Д* = 0 (ср. с результатом задачи 7).
Если же случайные величины \ и ц не коррелированы (р (g, rj) = 0), то
Я*(Н) = Мг1, т. е. в случае отсутствия корреляции между ^ и т| лучшей
оценкой т) по \ является просто Мт] (ср. с задачей 4).
