Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 19

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 179 >> Следующая

Если, например, \ и ц - независимые бернуллиевские случайные величины,
принимающие каждая значения 1 и 0 с вероятностями р и q соответственно,
то Z = {0, 1, 2} и
Я?(0) = Я6 (0)^(0)=^,
Р1 (1) = Р% (0) Я, (1) + Рг (1) Рп (0) = 2pq,
Pt (2) = />6(1)/>Т1(1)=ра.
По индукции легко устанавливается, что если •••> -
независимые бернуллиевские случайные величины с Р {|г = 1 } = р, Р{Е; =
0}=<7, то случайная величина ? = ?x + ... + L> имеет биномиальное
распределение
P^{k) = Cknpkqn-\ k - 0, 1, ..., п. (4)
48
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
4. Перейдем теперь к важному понятию математического ожидания, или
среднего значения, случайных Ееличин.
Пусть (Q, "и/, Р) - (конечное) вероятностное пространство и g = f (ш) -
некоторая случайная величина, принимающая значения в множестве А! = {.>4,
..., хк\. Если положить = {со: Ё=лу}, /= 1, ..., k, то, очевидно, | можно
представить в таком виде:
I (со) = 2 лу/ (Ai), (5)
i = i
где множества Аи ..., Ак образуют разбиение пространства Q (т. е. они
попарно не пересекаются и их сумма равна Q; см. п. 3 § !)¦
Обозначим рг= Р {t = л',-}. Интуитивно ясно, что если наблюдать за
значениями случайной величины | в т повторных неза-. висимых
экспериментах", то значение лу должно встретиться примерно pftt раз, /=1,
..., k. Таким образом, среднее значение, подсчитанное по результатам п
экспериментов, есть примерно
k
- [nplxL +... + пркхк] = ^ Pixi-
1 = 1
Это замечание делает понятным следующее
Определение 4. Математическим ожиданием или средним
k
значением случайной величины ?= xj (Ар называется число
? = 1
М| = 2>,Р(Л;). (6)
1 =-1
Поскольку Л/={со: ?(о)) = лу[ и Р% (лу) = Р (Л,), то
М1=2>Я6(*,). (7)
1=1
Вспомнив определение функции распределения F%-F^(x) и обозначив
ДЕ| (х) = Ft (х) - F% (х -), находим, что Pt (х{) - AF; (лу) и,
следовательно,
M? = 2>,AF6(*,). (8)
1=1
Прежде чем переходить к рассмотрению свойств математических ожиданий,
заметим, что часто приходится иметь дело с
§ 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 49
различными представлениями случайной величины g в виде
g (со) = 2 xil / = 1
где Д + ... + Д = ?2, но среди х) могут быть, вообще говоря, одинаковые
значения. В этом случае Mg можно подсчитывать по
i
формуле 2 х)Р (Д), не переходя к представлению (5), где все лу /=1
различны. Действительно,
2 xjP(Bj) = Xi X Р(Д) = *Р(Д)
{/; *;¦=*,} {/; *;•=*,}
и, значит,
X Х/Р (Д) = 2 *<р(Д)-
i=i
5. Сформулируем основные свойства математических ожиданий:
1) Вели g^O, то MgS^O.
2) М (ag + ftrj) = aMg + bMt], a, b - постоянные.
3) Если г), то Mg^MTp
4) |Mg|^M|g|.
5) Если g и т] независимы, то MgTi = Mg-MTp
6) (М | gr] ()2 Mg2 • Mr)2 (неравенство Коши - Буняковского),
7) Если g = 1(А), то Mg = P(/l).
Свойства 1) и 7) очевидны. Для доказательства 2) пусть
? = 2*Д(Д). л = 2 а,/(яд
* /
Тогда
al + by] = а X xd (71; П Д) + b X УД (Д П Д) =
Д / Д /
= 2 ("*< + ьуК I (Д л Д)
Д /
И
М (ag + ftrj) = 2 (axi + byj) p (Д Л Д) =
= 2 ax'p (Д) + 2 byf (Д) =
? /
= a 2 *'P (Д) +2 шр (Д) = + Штт
"U ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Свойство 3) следует из 1) и 2). Свойство 4) очевидно, поскольку
|Mg| = |2>iP(4) ^2>;|Р(Л;) = М|||.
I ^ i
Для доказательства свойства 5) заметим, что
М?г] = М (^XiKA^^yjKB,)^
= М 2 XiUjI (Ai П Bj) = V х.у.р (Л; П в/) =
! ", i
= I] ЗДуР (Л) Р (В/) =
= 2 *;Р (ЛЛ • (Z У;Р (Я/Л = ME • Мл,
где мы воспользовались тем, что для независимых случайных величин события
Л; = {ск ?((0) = *,-} и Bj = {a: т] (со) = г/у}
являются независимыми: Р (Лг П БД = Р (Л,) Р (БД.
Чтобы доказать свойство 6), заметим, что
^ = 2>?/(Лг.), л2 = 2>?/(ВД
i /
И
Мё2 = 2чР(Л;), Мт)* = 2у/Р(Я/).
* !
Пусть М?2>0, Мг)2>0. Положим г ?
Ь Ущ1 ' Л КМт)2'
Поскольку 2 [ |fj | с |2 -ffj2, то 2М j Ел I М|2 +Мл2 = 2. Значит, М | |л
| < 1 и (М | Ел |)а "с ME2 • Мл2-
Если же, скажем, МЕ2 = 0, то это означает, что ^ ,ДР (Л,) = О
I
и, следовательно, среди значений, принимаемых случайной вели-чиной Е,
есть значение 0, причем Р{ок g (со) = 0} = 1. Поэтому, если по крайней
мере одно из значений ME2 или Мл2 равно нулю, то, очевидно, М|Ел| - 0 и>
следовательно, неравенство Коши-¦ Буняковского также выполняется.
Замечание. Свойство 5) обобщается очевидным образом на любое конечное
число случайных величин: если Ei> Е/- независимы, то
т1...ъ=т1...тг.
§ 4. СЛУЧАЙНЫЕ величины и их характеристики 51
Доказательство здесь то же, что и для случая г - 2 или по индукции.
Пример 3. Пусть g - бернуллневская случайная величина, принимающая
значения 1 и 0 с вероятностями р и q. Тогда
Mg=l-P{g=l} + 0.P{g = 0} = p.
Пример 4. Пусть gx, ..., 1п - п бернуллиевских случайных величин с P{g,-
= 1 }=/?, P{g,= 0} = 9, p + q= 1. Тогда для
Д = ll + • • ¦ + \п
находим, что
МД = пр.
К этому результату можно прийти и другим путем. Нетрудно понять, что МД
не изменится, если предположить, что бернул-лиевские случайные величины
glt ..., g" независимы. При этом предположении, согласно (4),
Р (S" = k) = Cknpkqn-\ k = 0, 1, ..., п.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed