Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 18

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 179 >> Следующая

значения
Обозначим -совокупность всех подмножеств множества X, и пусть В ее
Множество В можно также интерпретировать как некоторое событие, когда
пространство исходов есть X - множество значений |.
Рассмотрим на (X, ?В) вероятность индуцируемую слу-
чайной величиной | по формуле
Р|(В) = Р{м: ?(о))еБ}, Все.Т.
Ясно, что значения этих вероятностей полностью определяются вероятностями
Р5(^) = Р{(о: ^(в) = 4 Xj<=X.
*) Для индикатора используется также обозначение I (А). По поводу часто
используемых далее свойств индикаторов см. задачу 1.
§ 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ II ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
45
Набор чисел {/0.(x'i)> (*,")} называется распределением
вероятностей случайной величины Е.
Пример 2. Случайная величина Е, принимающая два значения 1 и 0 с
вероятностями ("успеха") р и ("неуспеха") q, называется бернуллиееской
•). Ясно, что для нее
р% И) = pxqx~x, х = о, 1. (1)
Биномиальной (или биномиально распределенной) случайной
величиной | называется случайная величина, принимающая п -j- ] значение
0, 1, ..., п с вероятностями
(х) = Сфс V. x - Q, !, .... п. (2)
Заметим, что в этих и во многих последующих примерах мы
не конкретизируем структуру основного вероятностного пространства (й, а/,
Р), а интересуемся лишь значениями случайных величин и их распределениями
вероятностей.
Вероятностная структура случайных величин ? полностью описывается
распределением вероятностей {Р| (*/), < - 1, ..., т\. Вводимое ниже
понятие функции распределения дает зквивалепг-нсе описание вероятностной
структуры случайных величин.
Определение 2. Пусть х е R1. Функция
Р,(х)==Р{ш: ?(")<х}
называется функцией распределения случайной величины |.
Ясно, что
h И = I] р% (*"•)
{О уз]
Pi (Xi) = Ft (Xi) - F% (Xi -), где Ft. (x --¦) = lim Ft (y).
yix
Если считать, что x1<x.l< .. .<xm "положить f|(x0) = 0, то P\ (Xi) = F|
(Xi) - F% (Xi-г), t=l, ..., tn.
Следующие графики (рис. 5) дают представление о /О (х) и Ft(x) для
биномиальной случайной величины.
Непосредственно из определения 2 следует, что функция распределения F%-
Ft(x) обладает такими свойствами:
(1) Fk(- со)=0, Ft (-j- ос) = 1;
(2) F^(x) непрерывна справа (/ф (х ф-) = (х)) и кусочно-по-
стоянна.
*) Обычно в литературе вместо выражений "бернуллиевская, биноминаль-н ;я,
пуссоповская, гауссовская случайная величина", используемых здесь,
говорится о "случайных величинах, имеющих распределение Бернулли,
биномиальное, Пуассона, Гаусса".
46
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
Наряду со случайными величинами часто приходится рассматривать случайные
векторы g = (^1, ?ф), компоненты которых
являются случайными величинами. Например, при рассмотрении
мультиномиального распределения мы имели дело со случайным вектором v =
(vlt \у), где v? = v? (со) - число элементов в последовательности ю = (о1
ап), равных b-t, г = 1, г.
p*(x)k
Л I I .........
0 12 п
ррп
Рис. 5.
Набор вероятностей
Pl(x1 хф) = Р {со: g1(co) = A'1, ..., \г{и>) = хг},
где X/ 6Е X, - области допустимых значений Е,-, называется распределением
вероятностей случайного вектора g, а функция
Но •••. лу) = Р{со: •••> lr(i")^xr],
где л-/ ед R1, называется функцией распределения случайного вектора l =
(llt ..., Ел).
Так, для упомянутого выше вектора v = (v1, ..., v,)
Рх (Пу, ... , пф) ~ Сп (п±, ..., пф) рф... ргг
(см. (2.2)).
2. Пусть S], ..., Е, - некоторый набор случайных величин, принимающих
значения в (конечном) множестве X ? R1. Обозначим через ЯР алгебру всех
подмножеств X.
Определение 3. Случайные величины Elf ..., \г называются независимыми
(независимыми в совокупности), если для любых Аф, . . . , ХЩХ
Р{?1=*1. ..., lr = Xr) = P {lr = Xr),
или, что эквивалентно, для любых Bv ..., ВГ^ЯР
Р {^63 б,, .... ^еф) = Р{?1еВ1)...Р{Е,ебф
§ 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 47
Простейший пример независимых случайных величин можно получить,
рассматривая схему Бернулли. Именно, пусть
Q = {co: со = (а1, ап), й; = 0, 1}, р (со) = p^aiqn~^ai
и ?г(со) = йг для со = (ах, ..., а"), i-1, ..., п. Тогда случайные
величины Ёх, Е2, ..., являются независимыми, что вытекает из
установленной в § 3 независимости событий
= {со: ах = 1}, ..., Л" = {со: а"=1}.
3. В дальнейшем нам не раз придется сталкиваться с вопросом о
распределении вероятностей случайных величин, являющихся функциями / (Ex.
•••. Ы от случайных величин Ег" •••> Рассмотрим сейчас лишь вопрос об
отыскании распределения суммы случайных величин ? = Е-{-т|.
Если | принимает значения в множестве Х = {хъ хк},
а т] -в множестве Y - {yu ..., tp], то случайная величина ? = = H +
принимает значения в множестве Z - {z: z = Xi-\-ijj, t = = 1, ..., k\ /=
1, ..., /}, и ясно, что
Pt(2) = P{g = 2} = P{g + T]=2}= 2 P{t=Xh Г\ = у,}.
{(*, />: Х{ + У~г]
Особо важен случай независимых случайных величин | и гр Тогда
Р Л = Уу} = Р {? = *"} Р {й = У,}>
и, значит, для любого zeZ
(г) = S ^ (*<) Рч (?!/) = 5 Р1 (х0 рг, (* ~ *"). (3)
{(О У): *,- + *'/ = 2} ' = 1
где в последней сумме Яп (г - х,) полагается равным нулю, если г - х(ф Y.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed