Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно понять, что цепь является апериодической. Предположим, что р'>Ц
(блуждающая.частица имеет тенденцию ухода вправо). Пусть i> 1; для
отыскания вероятностей ftl можно воспользоваться формулой (1), из которой
следует, что
Все состояния рассматриваемой цепи сообщаются между собой. Поэтому, если
состояние i было бы возвратным, то тогда бы и состояние 1 также было бы
возвратным. Но (см. доказательство леммы 3 в § 3) тогда ftl было бы равно
единице. Следовательно, все состояния рассматриваемой цепи в случае р > q
невозвратны, а значит, р\'.п->оо, i, / е ?, и предельного или
стационарного распределения не существует.
Пусть теперь p^q. Тогда из (1) /г1 = 1 для t>l и /п = = <7 + pf21 = 1.
Поэтому цепь возвратна.
Рассмотрим систему уравнений, определяющую стационарное распределение
Если р = д, то тогда ni = л2 =... и, следовательно, я0 = Ях =" е=я2 = ...
= 0. Иначе говоря, если p - q, то не существует стационарного, а значит,
и предельного распределения. Отсюда и цз .теоремы 3 § 4, в частности,
следует, что в этом случае все состояния цепи нулевые.
Яо -
я, = Яо -j- я2<7, я2 = лхр -f- Яд<7,
т. е.
Ях = Ях<7 -f- я2<7, я2 = я2<7 я3<7,
откуда
/ - 2, 3,
§ 5. ПРИМЕРЫ
559
Осталось рассмотреть случай p<.q. Из условия ^ яу = 1
/ = о
находим, что
т. е.
JTj
[<7+1 +
Л
я
Я!:
+ (т
Я-Р
2д
Яу -
я - Р 2 q
(fr<
/;
Тем самым это распределение J] является единственным стационарным
распределением. Поэтому в случае p<.q цепь является апериодической
возвратной и положительной (теорема 2 § 4). Распределение П является
также предельным и эргодическим.
Пример 5. Снова рассматривается простое случайное блуждание с двумя
отражающими экранами в точках 0 и N:
1 А Р Р
N 0<p<f
NJy
9 9 9
Все состояния цепи являются апериодическими, возвратными и
положительными. Согласно теореме 4 § 4 цепь является эрге*
N 2
дической. Решая систему Яу
Я iPij
i=0
с условием 2 я"= 1" находим эргодиче-
( = 0
ское распределение:
'+У-1 q'- ¦, 2< "<#-!,
Я;
N - 1 1
/=i
2 /А //4
/
> //" '
/А /А
0 /+ 2 '
Рис. 41. Блуждание на пло* скости.
я0 = Я1<7, Яд.' = Лд'-йЦ.
2. Пример 6. Из примера 1 следует, что рассмотренное в нем простое
случайное блуждание по целочисленным точкам прямой будет возвратно, если
р - q, и невозвратно, если p^=q. Рассмотрим теперь с точки зрения
возвратности и невозвратности симметричные случайные блуждания на
плоскости и в пространстве.
В случае плоскости будем предполагать, что частица из каждого состояния
(г, /) с вероятностью 1/4 сдвигается вверх, вниз, вправо или влево (рис,
41).
560 ГЛ. VIII МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
Рассмотрим для определенности состояние (0, 0). Тогда вероятность Рк =
Р(о,)о), (о, о) перехода из состояния (0, 0) за k шагов в (0, 0) задается
формулами
^>2я+1==0, п = 0, 1, 2, ...
" _ у (2л)! /1\"" . о
- 2d i! i! /'! /'! V 4 У ' П~ ' '
{(<', /): < + /' = ")
Умножая числитель и знаменатель каждого члена суммы на (я!)2, получим
г"=(тГа,2с'""-'-(4Г(са'>
I =0
поскольку " f " ,
х 1 wzC'rc -
г=0
Применяя теперь формулу Стирлинга, найдем, что
р ^
2л ял
и, значит, 21/52л = °°- Следовательно, состояние (0, 0) (также как и
любое другое) является возвратным.
Оказывается, однако, что в случае размерности три и больше симметричное
случайное блуждание невозвратно. Покажем это для блуждания по
целочисленным точкам (г, /, k) в пространстве.
Будем предполагать, что из точки (г, /, k) частица с вероятностью 1/6
сдвигается на единицу вдоль одного из направлений координатных осей:
1/6. ,!в*
t1/6 7ТГ~
1/6 11/6 I
Тогда, если Рк - вероятность возвращения за k шагов из состояния (0, 0,
0) в (0, 0, 0), то
Pin+1 - О, п = 0, 1, ...,
§ 5. ПРИМЕРЫ
561
где
Г 5!_________________________________1
_ "1 Л (" - * - /)! J
(12)
Сп - max
{(I, /): 0<i + /<n)
Докажем, что при больших ti max в (12) достигается при i^n/3, j п/'З. Для
этого обозначим через /0 и /0 значения, для которых достигается max.
Тогда, очевидно, будут справедливы следующие неравенства:
я! " п!
/о! ('о - 1)' (я -У о -'о+ ')! п!
/V (<о+ 1)! (n-io - h- О! откуда
: U- 'о- (я-/о- <и)! ' л!'
(Щ- 1)! "о! (я-Уо-С+1)!
п!
: (Уи+ 1)! g (Я -/0 -*0-1)1 '
п - to - 1 S
"-/о- 1 ' и, значит, для больших п г0 •
О
По формуле Стирлинга
: 2/0 n - t0 -f-1,
: 2г0 ^ tt - /о + 1, п/3, а /о ^ п/3 и п\
[(а-)']'
С1 1
л "-
22 л Зл
3 Кз
2л3'2п3/2 '
и поскольку
р зКз
2л3/2п3'2
то Следовательно, состояние (О, 0, 0), а также любое
П
другое состояние, являются невозвратными. Аналогичный результат остается
верным и для размерностей, больших трех.
Итак, справедлив следующий результат (Пойа): для пространств R1 и R'2
симметричное случайное блуждание возвратно, а для пространств Rn, п /5=
3, является невозвратным.
3. Задачи.
1. Вывести рекуррентные соотношения (1).
2. Установить справедливость соотношений (4).
3. Показать, что в примере 5 все состояния являются апериодическими,
возвратными и положительными.
4. Дать классификацию состояний марковской цепи с матрицей переходных
