Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 171

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 179 >> Следующая

описывает блуждание частицы по состояниям ? = {0, ±1, ...} с переходом на
единицу вправо с вероятностью р и влево с вероятностью q. Понятно, что
вероятности перехода равны
| р,
Ри = \ Я, i = i- 1, Р + <7= 1. О в остальных случаях.
Если р - 0, то частица детерминированным образом движется влево, если же
р - 1, то вправо. Эти случаи мало интересны, поскольку тогда все
состояния несущественны. Будем поэтому предполагать, что 0<р<1.
В этом предположении, состояния цепи образуют один класс (существенных
сообщающихся состояний). В каждое состояние можно вернуться за 2, 4, 6,
... шагов. Поэтому цепь имеет период d - 2.
Поскольку для любого i е Е
P?tn) =Cln(pq)n = {^(pq)n, то по формуле Стирлинга (п\ ^ }^2пп ппе~п)
У лл
Поэтому, если р - q, то p\fn) - со, и если p^q, то
П
2 Ри'п) < 00 • Иначе говоря, если p=q, то цепь возвратна, если
§ 5. примеры 555
же рфц, то невозвратна. В § 10 гл. 1 было показано, что в случае p - q =
1/2 /<?п> ^ 2 у 1 ^ Значит, =
= '^i(2n)f'fin) - oo, т. е. все возвратные состояния являются нуле-
П
еыми. Поэтому в силу теоремы 1 из § 3 для всех 0<р<;1 Р\? 0, п^-
со, для любых i и /.
Стационарные, предельные и эргодические распределения отсутствуют.
Пример 2. Рассмотрим простое случайное блуждание с Е - = {0, 1, 2, ... },
где 0 является поглощающим экраном:
Р Р
Состояние 0 образует единственный положительный возвратный класс с й = 1.
Все же остальные состояния невозвратны. Поэтому, согласно теореме 2 из §
4, существует единственное стационарное распределение
П = (Яо, ^1" ••• )
С я0=1 И Ki = п,
Рассмотрим теперь вопрос о предельном распределении. Ясно, что р$ = 1,
0, /Ss 1, iSsO. Покажем теперь, что для вся"
кого i 1 величины a (t) = lim определяются формулами
П
a(t) = f if) ' P>q' (1)
( 1, р<?.
С этой целью прежде всего заметим, что поскольку состояние 0 является
поглощающим, то р<"> = /<*> и, следовательно, а (г) =
А ^ п
т. е. интересующая нас вероятность а (г) есть вероятность того, что
частица, выходящая из состояния г, рано или поздно достигнет нулевого
состояния. Для этих вероятностей тем же методом, что и в § 12 гл. 1 (см.
также § 2 гл. VII), выводятся рекуррентные соотношения
а (г) = рос (i+l) + ga(f- 1),
(2)
556
ГЛ VIII МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
при этом а(0) = 1. Общее решение этого уравнения имеет вид
a(i)=a + b(q/py, (3)
и условие а (0) - 1 дает одно условие на константы а и b: а+ 6 = 1.
Если предположить, что q> р, то тогда в силу ограниченности а (г) сразу
получаем, что 6 = 0, а значит, a(i) = \. Этот результат вполне понятен,
поскольку в случае q > р частица имеет тенденцию двигаться по направлению
к нулевому состоянию.
Если же p~>q, то ситуация обратная - имеется тенденция хода вправо, и
естественно поэтому ожидать, что тогда
а (!) ->• 0, i со, (4)
а, значит, а = 0 и
Чтобы доказать это равенство, мы не будем устанавливать (4), а поступим
иначе.
Наряду с поглощающим экраном в точке 0 введем в рассмотрение поглощающий
экран в целочисленной точке N. Вероятность того, что частица, выходящая
из точки г, достигнет нулевого состояния раньше, чем состояния N,
обозначим aN(i). Для вероятностей aN{i) справедливы уравнения (2) с
граничными условиями
aN (0) = 1, aN (УУ) = 0, и, как это уже было показано в § 9 гл. I,
;)ЧГ
q
(0 = v ^ ; "~ТлТк ¦ - 0 <г' ^ А' /6)
1 -
Отсюда
lim ал, (0 =(д,
N \ и
и, следовательно, для доказательства требуемого результата (о) надо лишь
показать, что
а (г) = lim aN (г). (7)
N
Интуитивно это понятно. Строгое же доказательство можно получить на
следующем пути.
Будем предполагать, что частица выходит из фиксированного состояния г.
Тогда
а(г) = Р,(Л), (8)
§ 5. ПРИМЕРЫ 557
где А - событие, состоящее в том, что найдется такое N, что
частица, выходящая из точки i, достигнет нулевого состояния
раньше, чем состояния N. Если
An = {частица достигнет 0 раньше чем N},
СО
то А = IJ ЛЛг. Ясно, что An е An+1 и
W = i + 1
Лл^= lim Pt(AN). (9)
/ N -+ со
Но aN(i) = Pi(AN), так что (7) сразу следует из (8) и (9).
Итак, если р>д, то предельные значения limpj^ зависят
П
от i и, следовательно, в этом случае предельного распределения не
существует. Если же то для любого limp^ = 1 иНтр<Д) = 0,
П П
/2г 1. Таким образом, в этом случае предельное распределение Щ имеет вид
Щ = (1> 0, 0, ... ).
Пример 3. Рассмотрим простое случайное блуждание с поглощающими экранами
в точках 0 и N:
Р Р Р Р
Здесь существуют два положительных возвратных класса {0} и {N}. Все
остальные состояния {1, ... , N - 1} невозвратны. Из теоремы 1 § 3
следует, что существует бесконечно много стационарных распределений П =
(:гго. л1> • • • > ллг) с п0 = а, nN = b, jtj = ... =яЛг_1 = 0, где a Ss
0, b S^O, a + b= 1. Из теоремы 4 § 4 Еытекает также, что предельного
распределения не существует. Это следует и из того, что, согласно
результатам п. 2 § 9 гл. I,
р. и
558
ГЛ. VIII. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
Пр и мер 4. Рассмотрим простое случайное блуждание с Е = *= {0, 1, ... }
и отражающим экраном в нуле:
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed