Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
то из (10) находим, что
Р (АВ) = Р (Л) Р (Б). (11)
Точно так же, если Р (В) > 0, то естественно сказать, что "Л не
зависит от Б", если
Р(Л |Б) = Р(Л).
§ 3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ
Отсюда снова получаем соотношение (11), которое симметрично относительно
А и В и имеет смысл также и тогда, когда вероятность этих событий равна
нулю.
Исходя из этого, примем следующее
Определение 2. События А и В называются независимыми или статистически
независимыми (относительно вероятности Р), если
Р(ЛЯ) = Р(Л)Р(Я).
В теории вероятностей часто приходится рассматривать независимость не
только событий (множеств), но и систем событий (множеств).
Приведем соответствующее
Определение 3. Две алгебры событий (множеств) и е//2 называются
независимыми или статистически независимыми (относительно вероятности Р),
если независимы любые два множества А1 и Л2, принадлежащие соответственно
х и з^2.
Для примера рассмотрим две алгебры
а^1 = {А1, Ах, ф, Q} и е^2 - [А2, Л2, 0, О},
где Ах и А.2 - некоторые множества из Q. Нетрудно показать, что оЛх и вуф
независимы тогда и только тогда, когда независимы события Ах и Л2.
Действительно, независимость в^х и зл?2 означает независимость
шестнадцати событий: Ах и Л2, Ах и Л2, ..., Q и Q. Следовательно, Ах и Л2
независимы. Обратно, если Л] и Л2 независимы, то надо показать, что
независимы остальные пятнадцать пар событий. Проверим, например,
независимость Ах и Л2. Имеем
Р (АхА2) = Р (Ах) - Р (АхА2) = Р (Ах) - Р (Ах) Р (Л2) =
= Р(Л1)-(1-Р(Л2)) = Р(Л1)Р(Л2).
Независимость остальных пар проверяется аналогичным образом.
5. Понятие независимости двух множеств и двух алгебр множеств
распространяется на случай любого конечного числа множеств и алгебр
множеств.
Именно, говорят, что множества Ах, ..., Ап независимы или статистически
независимы в совокупности (относительно вероятности Р), если для любых k
= 1, ..., п и 1 ^ ix < Д < • • • <Фи ^ п
Р(Л11,..Л1/;) = Р(Л11)...Р(Л1./г). (12)
Алгебры множеств называются независимыми
или статистически независимыми в совокупности (относительно вероятности
Р), если независимы любые множества Ах, Ап, принадлежащие соответственно
е^0,
40
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Отметим, что из попарной независимости событий не следует их
независимость. Действительно, если, например Q = {сои со2, со3, со4} н
все исходы равновозможны, то нетрудно проверить, что события
А = {"i> "2}- в = {(r)1- "з} С = {св1, со4}
попарно независимы, но
Р (ABC) = ]- Ф ( ' )3 = Р {А) Р (В) Р (С).
Отметим также, что из того, что для некоторых событий А,
В и С
Р (ABC) = Р (Л) Р (В) Р (С),
вовсе не следует попарная независимость этих событий. В самом деле, пусть
пространство й состоит из 36 упорядоченных пар (г, /), где i, j=l,
2, ..., 6 и все эти пары равновозможны. Тогда
для A - {(i, j): j - 1, 2 или 5}, B - {(i, j): j = 4, 5 или
6},
С = {(/, /): г + /' = 9} имеем
Р (АВ)= 1=^1 = Р (Л) Р (В),
Р(ЛС) = 1&Ф±8=Р(А)Р(С),
Р (ВС) = = Р (Д) Р (С),
но в то же время
Р(ЛДС) = = Р(Л)Р(Д)Р(С).
6. С точки зрения понятия независимости рассмотрим подробнее
классическую модель 1Й, еЛ, Р), введенную в § 2 и приведшую к
возникновению биномиального распределения.
В этой модели
Й = {со: со = (су, ..., а"), fl" = 0, 1}, ет? = {А\ Лей}
и
p(io)=pTaiqn~Xai. (13)
Пусть событие Лей. Будем говорить, что это событие зависит от испытания в
k-й момент времени, если оно определяется лишь значением ак. Примером
таких событий являются события
Ап - {со: о* == 1}, Л= {со: а* = 0}.
Рассмотрим последовательность алгебр ет?^, от?г, ..., <зуВп, где ет?ь =
{Ак, Л*, ф, Q}, и покажем, что в случае (13) эти алгебры независимы.
§ 3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ
41
Ясно, что
Та-"п- 2а;
Р(А0= 2 рИ= S р aicir'
{со: а^=1> {со: а^ = 1)
=:р У pai+"-+afc-i-La/m+--+%X
(а1 ak-V яХ-1 nn)
х (?(n_1)_(fll+...+eft_l+flft+1+...+an)=р 2 CJ1_I Ру"-1И=Р1
г=о
и аналогичный подсчет показывает, что Р (Л*)=ю/ и при k Ф I
Р (ЛА,Л,) = р2, Р(Л*Л/)=Р7, Р (Л*/х) = ф2.
Отсюда легко выводится, что алгебры аФ k и а-/,, кф1, независимы.
Точно так же показывается, что независимы и алгебры вФъ &-/2, ..., я?п.
Это дает основание назвать рассматриваемую модель (Q, аФ, Р) моделью,
отвечающей "л независимым испытаниям с двумя исходами и вероятностью
"успеха" р". Я- Бернулли был первый, кто систематически изучал эту модель
и доказал для нее справедливость закона больших чисел (§ 5). Б связи с
этим эту модель называют также схемой Бернулли (с двумя исходами -¦
"успехом" и "неуспехом" - и вероятностью "успеха" р).
Детальное рассмотрение вероятностного пространства в схеме Бернулли
показывает, что оно имеет структуру "прямого произведения вероятностных
пространств", состоящую в следующем.
Предположим, что задан набор (1Д, Д/,, Р,), ..., (Q", ДД, Ри) конечных
вероятностных пространств. Образуем пространство Q = Q1XQS>X...XQ" точек
<о = (а^ ..., а"), где ищй,. Обозначим аФ'- ЛД(r).. .(r)ДД - алгебру
подмножеств Q, состоящую из сумм множеств вида А=В1 X В2 X... X Вп с Bt
