Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ГИЧ nr)~ N (Q) - Сп. ' (3)
Набор вероятностей {Р(ДП1 пг)} носит название многомерного
гипергеометрического распределения. В случае г = 2 это распределение
называют просто гипергеометрическим в связи с тем, что так называемая
производящая функция этого распределения есть гипергеометрическая
функция.
Структура многомерного гипергеометрического распределения довольно
сложна. Так, вероятность
Р (Вп,. пг) - -Д nL-\-n2 = n, Муф- АД = М, (4)
содержит девять факториалов. Однако легко показать, что если М-*-со, Afj-
voo, но так, что ^и, следовательно, ^->-
1 - pj, то
р(5л,. Л1)->с2;+",рл,(1-р)л'* (5)
Иначе говоря, при сделанных предположениях гипергеометрическое
распределение аппроксимируется биномиальным, что интуитивно понятно,
поскольку при больших М и Му (конечный)
§ 2. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
33
выбор без возвращения должен давать почти тот же результат, что и выбор с
возвращением.
Пример. Используем формулу (4) для нахождения вероятности угадывания
шести "счастливых" номеров в известной лотерее "спортлото", суть которой
состоит в следующем.
Имеется 49 шаров, занумерованных числами 1, 2, ..., 49, из которых шесть
шаров "счастливых" (скажем, красного цвета; остальные-белого).
Производится выбор без возвращения шести шаров. Спрашивается, какова
вероятность того, что все шесть вытащенных шаров являются "счастливыми".
Полагая М = 49, A4i = 6, п1 = 6, п2 = 0, видим, что интересующее нас
событие
Вв, о - {6 шаров - "счастливые"} имеет, согласно (4), вероятность
P(B6,0) = i^7,2.10-".
ь 19
4. Числа п! с ростом п растут чрезвычайно быстро. Так,
10! =3 628 800,
151 = 1 307 674 368 000,
а 100! содержит 158 знаков. Поэтому как с теоретической, так и
вычислительной точки зрения важна следующая формула Стирлинга:
п\ = У2лп ехР , 0<9"<1, (6)
доказательство которой имеется в большинстве руководств по
математическому анализу (см. также [69]).
5. Задачи.
1. Доказать формулу (5).
2. Показать, что для мультиномиального распределения {Р(/4П" .... " )}
максимальное значение вероятности достигается в точке (klt ..., kr),
удовлетворяющей неравенствам: npt - 1 < < ki < (п + г - 1) ph i = 1, ...,
г.
3. Одномерная модель Изинга. Пусть имеется п частиц, расположенных в
точках 1, 2, ..., п. Предположим, что каждая из частиц относится к одному
из двух типов, причем частиц первого типа п1 и второго - пг (п1 + п2 =
п). Будем считать все п\ расположений частиц равиовозможными.
Построить соответствующую вероятностную модель и найти вероятность
события Аа(ти, т,2, т.п, rn.n) - {vu~mn< ¦¦¦ ..., v22 = m22}, где vy-
число частиц типа i, следующих за частицами типа / (г, / = 1, 2).
34
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
4. Используя вероятностные соображения, доказать справедливость
следующих тождеств:
Z С* = 2",
к = 0
t ет=с?л,
k = 0
X 7П^Я + 1,
n
2 ?(/г-\)Скт = /п{т-l)2m-2, m=s2.
t=o
§ 3. Условные вероятности. Независимость
1. Понятие вероятности событий дает нам возможность ответить
на вопрос такого типа: если урна содержит М шаров, из
которых Мх шаров белого цвета и /И2 - черного, то какова вероятность Р
(Л) события Л, состоящего в том, что вытащенный шар имеет белый цвет. В
случае классического подхода Р (Л) = АД/Л4.
Вводимое ниже понятие условной вероятности позволяет отвечать на вопрос
следующего типа: какова вероятность того, что второй извлеченный шар
белого цвета (событие В), при условии, что первый шар также имеет белый
цвет (событие А)? (Рассматривается выбор без возвращения.)
Естественно здесь рассуждать так: если первый извлеченный шар имел белый
цвет, то перед вторым извлечением мы имеем
урну с М - 1 шаром, из которых М1 - 1 шаров имеют белый
цвет, а А42 - черный; поэтому представляется целесообразным считать, что
интересующая нас (условная) вероятность равна
/Mi - 1
"м - 1 '
Дадим теперь определение условной вероятности, согласующееся с
интуитивными представлениями о ней.
Пусть (Q, Р)-(конечное) вероятностное пространство и Л -некоторое событие
(т. е. 4ее/).
Определение 1. Условной вероятностью события В при условии события А с Р
(Л) > 0 (обозначается Р (В \ Л)) называется величина
Р {АВ) Р(Л)
(О
§ 3 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ НЕЗАВИСИМОСТЬ 35
В случае классического способа задания вероятностей Р(Л) =
-та?
Р(в; л) = 4^. (2)
Следующие свойства условных вероятностей непосредственно вытекают из
определения 1:
Р(А | Л) = 1,
Р(0|Л) = О, '
Р(В[Л) = 1, йэЛ,
Р(В1 + В*|Л) = Р(51|Л) + Р(5*|Л).
Из этих свойств следует, что при "закрепленном" множестве Л условная
вероятность Р (• | Л) обладает на пространстве (Q П Л,
а^ПЛ), где о/? А = {В [\ А\ б е а?/}, теми же свойствами, что
и исходная вероятность Р(-) на (Q, оу?).
Отметим, что
Р(5| Л) + Р(В| Л) = 1,
однако, вообще говоря,
Р(В\А) + Р(В\А)Ф1,
Р(В\А) + Р(В\А)ф\.
Пример 1. Рассмотрим семьи, имеющие двух детей. Спрашивается, какова
вероятность того, что в семье оба ребенка мальчики, в предположении, что:
a) старший ребенок - мальчик?
b) по крайней мере один из детей - мальчик?
