Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 130

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 179 >> Следующая

6. Показать, что если 211 R (п) К °°. Т(э спектральная функция F (к)
имеет плотность f(k), определяемую формулой
ОО
= 2 e-b'Rin).
п - - 00
§ 2. Ортогональные стохастические меры и стохастические интегралы
1. Как уже отмечалось в § 1, интегральное представление ковариационной
функции и пример стационарной последовательности
ОО
ln= z (!)
k - ОО
с попарно ортогональными случайными величинами z*, AeZ, наводит на мысль
о возможности представления произвольной стационарной последовательности
в виде соответствующего интегрального обобщения суммы (1).
Если положить
2(Я)= 2] Z*. (2)
{k.
то (1) запишется в виде
ln= Z ^nAZ(kk), (3)
k = - оа
где № (Я*) в Z (Я*) - Z (кк -) = г*.
Правая часть (3) напоминает интегральную сумму для "инте-
Я
грала типа Римана- Стилтьеса" $ eiXndZ(k). Однако в рассмат-
- Я
риваемом нами случае функция Z (Я) является случайной (зависящей также и
от со). При этом выясняется, что для интегрального представления
произвольной стационарной последовательности приходится привлекать к
рассмотрению и такие функции Z (Я), которые при каждом со имеют
неограниченную вариацию. Поэтому
Я
простое понимание интеграла ^ eiKn dZ (Я) как интеграла Римана -
- Я
Стилтьеса для каждого со становится неприемлемым.
2. По аналогии с общей концепцией интегралов Лебега, Лебега- Стилтьеса и
Римана-Стилтьеса (§ 6 гл. II) рассмотрение стохастического случая начнем
с определения стохастической меры.
Пусть (Q, eF, Р) - вероятностное пространство, Е - некоторое множество с
алгеброй Ш0 его подмножеств и а-алгеброй Ш.
§ 2 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ 413
Определение 1. Комплекснозначная функция Z (А) = = Z (а; А), определенная
для юей и Де!0, называется конечноаддитивной стохастической мерой, если:
1) для любого Де^о М j Z (А) |2 < со;
2) для любых двух непересекающихся множеств Ах и Д2 из
Z(A1 + Aa) = Z(A1) + Z(A2) (Р-п. н.). (4)
Определение 2. Конечно-аддитивная стохастическая мера Z (А) называется
элементарной стохастической мерой, если для любых непересекающихся
множеств Д1; Д2, ... из таких, что
Z (А) - S Z(Д*)
k = 1
-О, п-э-со. (5)
Замечание 1. В данном определении элементарной стохастической меры,
заданной на множествах из Ш0, предполагается, что ее значения принадлежат
гильбертову пространству Н2 = = H2(Q, eF, Р), а счетная аддитивность
выполнена в среднеквадратическом смысле (5). Существуют и другие
определения стохастических мер, в которых отсутствует требование
существования второго момента, а счетная аддитивность понимается,
например, в смысле сходимости по вероятности или с вероятностью единица.
..Замечание 2. По аналогии с неслучайными мерами можно показать, что для
конечно-аддитивных стохастических мер условие
(5) счетной 'аддитивности (в среднеквадратическом смысле) эквивалентно
непрерывности (в среднеквадратическом смысле) в "нуле":
М | Z (Д) |2->0, Ал | 0, Дле?о- (6)
В классе элементарных стохастических мер особо важны меры, являющиеся
ортогональными в смысле следующего определения.
Определение 3. Элементарная стохастическая мера Z (Д), А е &0, называется
ортогональной (или мерой с ортогональными значениями), если для любых
двух непересекающихся множеств Aj и Д2 из Ш0
= (7)
или, что эквивалентно, если для любых Ах и Д2 из Ш0
MZ(A1)Z(A2) = M|Z(A1nA2)|2. (8)
Обозначим
т (А) = М | Z (А) |2, А <= Ш0. (Э)
414 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Для элементарных рртогональных стохастических мер функция множеств m =
m(А), А & $0, является, как легко видеть, конечной мерой и,
следовательно, по теореме Каратеодори (§ 3 гл. II) она может быть
продолжена на (Е, %). Так полученную меру будем снова обозначать через т
= т(А) и называть структурной функцией (элементарной ортогональной
стохастической меры Z = Z(А),
Ае*о).
Теперь естественным образом возникает следующий вопрос: раз функция
множеств т = т(А), определенная на (Е, ?0), допускает продолжение на (Е,
&), где & = о(%0), то нельзя ли элементарную ортогональную стохастическую
меру Z = Z (А), А е &0, продолжить на множества А из &, причем так, чтобы
М | Z (А) |2.= = т (А), Де1.
Ответ на этот вопрос утвердительный, что вытекает из нижеследующих
конструкций, приводящих в то же самое время и к построению
стохастического интеграла, необходимого для интегрального представления
стационарных последовательностей.
-3. Итак, пусть Z = Z (А) - элементарная ортогональная стохастическая
мера, А е &0, со структурной функцией т = т (А), Де1, Для каждой функции
/М = .?/*/V Aie|" (10)
принимающей лишь конечное число различных (комплексных) значений,
определим случайную величину
= (АД
Пусть L2 = L2 (Е, Щ, т) - гильбертово пространство комплекснозначных
функций со скалярным произведением
</. g) = \f(Z)g(X)m(dk)
Е
и нормой 1/1 = </, /)1/2, a #2 = #2(Q, aF, Р) - гильбертово пространство
комплекснозначных случайных величин со скалярным произведением
(I, Л) = М|Ц
и нормой [?! = (?, W12.
Тогда очевидным образом для любых двух функций fug вида (10)
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed