Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
("симметричная" монета) и п - 5, 10, 20.
Приведем еще одну модель (в сущности эквивалентную предшествующей),
описывающую случайное блуждание некоторой "частицы".
§ 2. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
29
Пусть частица выходит из нуля и через единицу времени делает шаг на
единицу вверх или вниз (рис. 2).
Таким образом, за п шагов частица может переместиться максимум на п
единиц вверх или п единиц вниз. Понятно, что каждая "траектория" со
движения частицы может быть полностью
Р"Щ
0,3
0,2
0,1
.L
п=5
_L
0 1 2 3 4 5
pnm
0,3
0,2
0,1
JL
п = 10
1
0 12345578910 k
H,(k)
0,3
0,2
0,1
О
--20
5 8 10 12 15
20 k
Рас. 1. Графики биномиальных вероятностей РП(Щ Ддя п = Ь,
10, 20.
описана набором (oL, ..., an), где Я; = + 1, если на i-м шаге частица
сдвигается вверх и щ - -1, если сдвигается вниз. Припишем каждой
траектории со "вс с" р (со) = pv ("), где
v (ш)-число +1 в последовательности СО == ("!, ..., я"), т. е,
v((o) = i2i±^±^±ZL,
а неотрицательные числа р и q таковы, что р + с/ = 1.
Поскольку Yj р = 1 ' Рис- 2-
вей
то набор ьероятнсстей р (со)
вместе с пространством й траекторий со = (alt ..., an) и его
подмножествами действительно определяет некоторую вероятностную модель
движения частицы за п шагов.
Поставим следующий вопрос: какова вероятность события Ak, что за п шагов
частица окажется в точке с ординатой, равной
80
гл. i. элементарная теория вероятностей
№ Этому условию удовлетворяют все те. траектории со, для которых v (со) -
(п - v (со)) = k, т. е.
/ . n + k
v(o>) = 4j-.
п + Ь
Число же таких траекторий (см. табл. 4) равно Сп 2 и, значит,
n + k n+ k n - k
Р {Ак) = С" 2 р 2 q 2 .
Таким образом, биномиальное распределение (Р(Л_"), ...
Р (А0)....... Р (Ап)) описывает, как говорят, распределение
вероятностей положения частицы за п шагов.
Заметим, что в "симметричном" случае (р = <7=1/2), когда вероятность
отдельной траектории равна 2~п,
n-i-k
р (Ак) = сТГ -2-".
Рис. 3. Возникновение биномиального распределения.
Рассмотрим асимптотику этих вероятностей при больших п.
Если число шагов равно 2п, то из свойств биномиальных коэффициентов
следует, что среди вероятностей Р (Ак), \k\^2 п, максимальной является
вероятность
Р(Л0) = С;п.2-ал.
Из формулы Стирлинга (см. формулу (G) в п. 4) п! /~^У~2ппе~ппп *).
Поэтому
О
ал
. (2п)!
'(л!)2
и, значит, при больших п
р Ио)
,22л.
У пп
Рис. 3 дает представление о возникновении биномиального распределения при
движении частицы за 2п шагов (в отличие от рис. 2 временная ось здесь
направлена вверх).
*) Соотношение /(n)~g(n) означает, что
/(")
"(я)
-г 1 при псо.
§ 2 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ?>1
2. Мультиномиальное распределение. В обобщение предшествующей модели
предположим, что пространство исходов имеет следующую структуру:
Q = {со: О = (^1" . . ¦ , @n)i @i bXi • • • > Ьг\ 1
где Ьх, ..., br - заданные числа. Пусть V,- (со) - число элементов в
последовательности ю = (ах, ап), равных b;, i - l, ..., г, и вероятность
исхода со определяется формулой
где 0 и рх + ... + рг = 1. Заметим, что
2 Р((r))= 2 Сп(пх, ..., пг) pH ... рп/,
COS й <П1 >0....пг 5: 0, \
\ пх + ... + пг = п j
где Сп(п1, ..., пг) - число (упорядоченных) последовательностей (а1, ...,
а"), у которых элемент Ь1 встречается пх раз, ..., элемент Ьг встречается
пг раз. Поскольку число способов, которым п1 элементов Ьх можно
расположить на п местах, равно Спп\ пг элементов Ь.г - на п - пх местах -
Спп2_п и т. д., то
Сп{пх, ..., nr) - Cnl-Сп-П1 ... Спг_^п^' _А_п^ ^ =
_ п\ _ (п - пх)\ j _
пх\ (п - пх)\ ' п2\ (п - пх - пг)\
_ nl пх\ ... пГ\'
Поэтому
2 2 щ! '."й;т Pi1 • • • = (Pi + ¦ ¦ ¦ + Р'-
)" = 1"
cos?2 jn1 ^ 0, ... , пг > 0,1
1Л1+- + ^=П 1
и, следовательно, рассматриваемый способ задания вероятностей является
корректным.
Пусть
Апи ... ,"л = {о>: v1(co) = w1, ..., v, (со) = и,}.
Тогда
Р (Лл1, - • пг) = С" (ni> • • • > Pi1 * • • Р^' (2)
Набор вероятностей
{Р (А"и... >Пг)}
носит название мультиномиального (полиномиального) распределения.
32 Г.п I ЧЛЯЧКНТЛРНЛЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Подчеркнем, что возникновение этого распределения и его частного случая -
биномиального распределения - связано с выбором с возвращением.
3. Многомерное гипергеометрическое распределение появляется в задачах,
где имеет место выбор без возвращения.
Для примера рассмотрим урну, содержащую М различных шаров,
занумерованных, скажем, числами 1, 2, ..., М, из которых Му шар имеет
"цвет" ?>,, ..., Мг шаров имеют "цвет" Ьг, Му АД = М. Предположим,
что осуществляется выбор без
возвращения объема п<^М. Пространство элементарных событий
Q - {со; со - (д, • • •" Ur.)* Д Ф1 ¦ ¦ • Ф- иП} a-t - 1, ..., АД
и N (Q) = (М)". Будем считать элементарные события равновозможными и
найдем вероятность события Вп^... , " , состоящего в том, что п, шар
имеет цвет by, пг шароа имеют цвет Ьг, пх +... -\-пг = п. Нетрудно
показать, что
N {ВП1 Пг) = Сп (nlt nr) (АД) ni ... (Мг) Пг,
и, значит,
Чвп1 п)
->п 'М
Р (В \ v *1......-Г - _ 1 г
