Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
с а = 1 - сК, е" = ?" - KS (Н). Случайные величины е" естественно считать
имеющими нулевые средние и в первом приближении некоррелированными и
одинаково распределенными. Тогда, как это было показано в примере 5,
уравнение (31) (при |а|< 1) имеет единственное стационарное решение,
которое следует считать решением, описывающим установившийся (с годами)
режим колебаний уровня в рассматриваемом бассейне.
В качестве тех практических выводов, которые можно сделать из
(теоретической) модели (31), укажем на возможность построения прогноза
отклонений уровня на следующий год по результатам наблюдений за настоящий
и предшествующий годы. А именно, оказывается (см. далее пример 2 в § 6),
что оптимальной (в среднеквадратическом смысле) линейной оценкой величины
по значениям ..., ?"_1( служит просто величина а.\п.
Пример 7. Смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего. Если
предположить, что в правой части уравнения (24) вместо е" стоит величина
а0гп-\-a^n^S ... +Ц-Рел_р, то получим так называемую смешанную модель
авторегрессии и скользящего среднего порядка (р, q):
+ frjjU-i + • ¦ • + bq\n-q = а0еп -j- a^n-i аргп-р- (32)
При тех же предположениях относительно нулей полинома Q (г), что и в
примере 5, далее показывается (следствие 2 к теореме 3 § 3), что
уравнение (32) имеет стационарное решение ? = (?"), для
Л
которого ковариационная функция равна R(n) = § еЛп dF (к)
- Я
к
с F (к) = $ f(y)d\, где
- Я
"т_ 1 P(e~lX) I2
Q(e *Х) | '
3. Теорема (Герглотц). Пусть R (п) - ковариационная функция
стационарной (в широком смысле) случайной последовательности с нулевым
средним. Тогда на ([-я, л), S3 ([-я, я))) найдется такая конечная мера F
= F(B), В ^ S3 ([-л, л)), что для любого я е Z
Я
R (п) = ] e,%nF (dk).
- Я
(33)
.410 ГЛ VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Доказательство. Положим для N^1 и Ае[-я, я]
N N
!n (>•)= ^ 2 2R(k~l) e~m'eil%- (34)
k=\ /=i
В силу неотрицательной определенности R(n) функция fN (к) неотрицательна.
Поскольку число тех пар (k, /), для которых k - 1 - т, есть N - \т\, то
= i 2 (1--тг)Я('и)е-'вА- (35)
I т I < N
Пусть
Fn (В) = \ fN (X) dX, В<=3д ([- я, я)). в
Тогда
J eiK"FN(dX)= I eilnfN (X) dX = I (l ~ lv~) R (n)' M<^> (3S)
- л -л ( 0, \ti\^ N.
Меры Fn, Ms=1, сосредоточены на интервале [-я, я] и Fn ([- ^]) = R (0)
< оо для любого N ^ 1. Следовательно,
семейство мер {/>}, 1, плотно, и по теореме Прохорова
(теорема 1 § 2 гл. III) существуют подпоследовательность {М*.} s S {/V} и
мера F такие, что FNk^LF. (Понятия плотности, относительной компактности,
слабой сходимости и теорема Прохорова очевидным образом с вероятностных
мер переносятся на любые конечные меры.)
Тогда из (36) следует, что
Л Л
г е&пр (дх) = lim ( eiXnFNk{dX) = R(n).
- JT Nft-" °° - JT
Построенная мера F сосредоточена на интервале [- я, я]. Не
со
изменяя интеграла ^ e'XnF (dX), можно переопределить меру F,
- СО
перенеся "массу" /¦'({я}), сосредоточенную в точке я, в точку - я. Так
полученная новая мера (обозначим ее снова через F) будет уже
сосредоточенной на интервале [- я, я).
Теорема доказана.
Замечание I. Меру F = F(В), участвующую в представлении (33), называют
спектральной мерой, а функцию F (X) = F ([-я, X]) - спектральной функцией
стационарной последовательности с ковариационной функцией R(n).
§ 1. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 411
В рассмотренном выше примере 2 спектральная мера оказалась дискретной
(сосредоточенной в точках kk, k = 0, ±1,...). В примерах 3-6 спектральная
мера абсолютно непрерывна.
Замечание 2. Спектральная мера F однозначно определяется по
ковариационной функции. В самом деле, пусть Fx и F2 - две спектральные
меры и
Л Л
^ eiXnFi (dk) = J eiKnF2 (dk), neZ.
- Л - Л
Поскольку любая ограниченная непрерывная функция g (к) может быть
равномерно приближена на [- я, я) тригонометрическими полиномами, то
] g (к) Fx (dk) - I g (к) F2 (dk),
- Л - Л
откуда (ср. с доказательством в теореме 2 § 12 гл. II) следует, что F1(B)
= Fi(B) для любых Де<Д?([-я, я)).
Замечание 3.. Если ? = (?") - стационарная последовательность, состоящая
из действительных случайных величин \п, то
Л
R(n) - § cos knF (dk).
- Л
4. Задачи.
1. Вывести свойства (12) из (11).
2. Доказать, что уравнение авторегрессии (24) имеет стационарное решение,
если все нули полинома Q(z), определенного в (27), лежат вне единичного
круга.
3. Доказать, что ковариационная функция (28) допускает представление (29)
со спектральной плотностью, задаваемой формулой (30).
4. Показать, что последовательность | - (|") случайных величин
СО
?"= 2 (aftsinAftn + pftcosAftrt)
k = i
с действительными случайными величинами ak и р* может быть представлена в
виде
СО
?*= 2 гкеп-ьп
k= - ОО
С zft = -i-(Pk - ia-k) для &5г0 и zft = Z_ft, Я* = - Я_й для k<0.
5. Показать, что для последовательностей (22) и (24) их спектральные
функции имеют плотности, задаваемые соответственно формулами (23) и (29).
412 ГЛ VI СТАЦИОНАРНЫЕ' СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
