Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
N (з^) = \ +C^+... + C.v = (l + 1)^ = 2".
4. Пока мы сделали два первых шага к определению вероятностной модели
эксперимента с конечным числом исходов: выделили пространство
элементарных событий и некоторую систему о/? его подмножеств, образующих
алгебру и называемых событиями. Сделаем теперь последний шаг, а именно
припишем каждому элементарному событию (исходу) Ш;ёО, ? = 1, ..., N,
некоторый "вес", обозначаемый р (со,), и называемый вероятностью исхода
со,-, который будем считать удовлетворяющим следующим условиям:
a) 0 р (со,) sg 1 (неотрицательность),
b) р (юх) +.. ,-fp (щу) = 1 (нормированность).
Отправляясь от заданных вероятностей р (од) исходов од, определим
вероятность Р (А) любого события А е по формуле
Р(Л) = 2 Р ("/)• (4)
| i; со ^ ?= Л I
Наконец, скажем, что тройка
(Q, о/А, Р),
где Q = {o)j, ..., (Одг}, (c)Л'- некоторая алгебра подмножеств Q,
Р = {Р(Л); А е 'Z'f}, определяет (задает) вероятностную модель, или
вероятностное пространство, эксперимента с (конечным) пространством
исходов Q п алгеброй событий (c)-г?.
Из определения (4) вытекают следующие свойства вероятностей
Р(Ф) = 0, (5)
Р(Й) = 1, (6)
Р(ЛиВ) = Р(Л) + Р(В)-Р(ЛПВ). (7)
В частности, если = то
Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В) (8)
Р (Л) = 1 - Р (Л). (9)
5. При построении вероятностных моделей в конкретных ситуациях выделение
пространства элементарных событий П и алгебры событий ол€, как правило,
не является сложной задачей. При этом в элементарной теории вероятностей
в качестве алгебры а/1 обычно берется алгебра всех подмножеств Q.
Труднее обстоит дело
с вопросом о том, как задавать вероятности элементарных событий.
24
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В сущности, ответ на этот вопрос лежит вне рамок теории вероятностей, и
мы его подробно не рассматриваем, считая, что осноеной нашей задачей
является не вопрос о том, как приписывать исходам те или иные
вероятности, а вычисление вероятностей сложных событий (событий из erf?)
по вероятностям элементарных событий.
С математической точки зрения ясно, что в случае конечного пространства
элементарных событий с помощью приписывания исходам (Ох, ..., co.v
неотрицательных чисел pt, pN, удовлетворяющих условию Рх + .. . + p,v= 1,
мы получаем все мыслимые (конечные) вероятностные пространства.
Правильность же назначенных для конкретной ситуации значений pj, ..., р.у
может быть до известной степени проверена с помощью рассматриваемого
далее закона больших чисел, согласно которому в длинных сериях
"независимых" экспериментов, происходящих при одинаковых условиях,
частоты появления элементарных событий "близки" к их вероятностям.
В связи с трудностью, связанной с вопросом о приписывании исходам
значений их вероятностей, отметим, что существует много практических
ситуаций, в которых из соображений симметрии представляется разумным
рассматривать все мыслимые исходы как равновозможные. Поэтому, если
пространство элементарных исходов П состоит из точек colt ..., cov, где N
<С со, то полагают p(co1) = ... = p(a)jV) = l/W,
и, следовательно, для любого события А ее е/?
Р (A) = N(A)/N, (Ю)
где А7 (Л) -число элементарных событий, составляющих А.
Такой способ задания вероятностей носит название классического. Ясно, что
в этом случае подсчет вероятностей Р (А) сводится к подсчету числа
исходов, приводящих к событию А. Делают это обычно комбинаторными
методами, в связи с чем комбинаторика, имеющая дело с конечными
множествами, занимает значительное место в вероятностном исчислении.
Пример 6. Задача о совпадениях. Пусть урна содержит М шаров,
занумерованных числами 1, 2,..., М. Производится выбор объема п с
возвращением, при этом рассматриваемые выборки считаются упорядоченными.
Ясно, что в этом случае
П = {со. со (с^х, ..., ап), ст, = 1, ..., А1}
и N (С1) - Мп. В соответствии с классическим способом задания
вероятностей будем считать все Мп исходов равновероятными и поставим
вопрос о том, какова вероятность события
А = [со. $2 7^ • ¦ • 7^ t
§ 1. ЕЕРОЯТНОСТНЛЯ МОДЕЛЬ 25
т. е. события, заключающегося в отсутствии повторений. Понятно, что N
(.4) = М (М - 1)... [М - п + 1) и, значит,
РМ)=-Ф1 = ('-я)(1-ж)-(1-т)- <">
Эта задача допускает следующую интересную интерпретацию. Пусть в классе
находится п учеников. Будем считать, что день рождения каждого ученика
приходится на один из 365 дней и любой день равновозможен. Спрашивается,
какова вероятность Рп того, что в классе найдутся по крайней мере два
ученика, дни рождения которых совпадают? Если рассматривать выбор дня
рождения как выбор шара из урны с М = 365 шарами, то согласно (11)
Следующая таблица дает значения вероятностей Рп для некоторых п:
п 4 16 22 23 40 64
Р" 0,0! 6 0,284 0,476 J 0,507 0,891 0,997
Интересно отметить, что (вопреки ожидаемому!) размер класса, где с
вероятностью 1/2 найдутся по крайней мере два ученика с совпадающими
днями рождения, не столь уж велик: он равен всего лишь 23.
Пример 7. Выигрыш в лотерею. Рассмотрим лотерею, устроенную по следующему
