Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 70

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 82 >> Следующая

Уравнение неразрывности не накладывает никаких ограничений на величины коэффициентов подобия, так что мы переходим сразу к уравнению Навье — Стокса (61.4). Пренебрегая действием внешних сил, мы после подстановки в это уравнение выражений (66.1) и (66.2) получаем
RUP'^f= ~jj grad' Pr + 7) [х gfad' div' D' +
+ 0' (w srad' Р'+w grad'p/)+
2iy ¦ grad/ p'+grad/ p/)] • (66-3> Предполагается, что коэффициенты X и |х зависят только от термодинамических переменных и 0 = div v. (В частном случае постоянных коэффициентов вязкости члены, стоящие во второй и третьей строках уравнения (66.3), обращаются в нуль.) Рассмотрим теперь семейство кривых С в пространстве xV определяемых уравнениями pr = const, р' = const. Вдоль любой из этих кривых уравнение (66.3) имеет вид
2 аЛі = о.
/ = 1
где аь — постоянные, а — векторные переменные; в частности, ах — RU, ^ = р' dv'/df, а2 = PjU, §2 = grad' рг и т. д.
В силу того, что „помеченное штрихами" течение удовлетворяет уравнению Навье — Стокса, мы вдоль кривых С имеем также 8
2 — о.
/ = 1
где b1=b2 = I, b3 — — X' и т. д. Из этих двух уравнений следует, что a^bt = const = RU,
RU2IP=l (66.4)
и
RUD = -±r = jr. (66.5)
66. Сжимаемые вязкие жидкости
219
(Эти рассуждения теряют СВОЮ силу, если переменные не независимы на кривых С; примером может служить плоское течение. В таких случаях мы можем, однако, получить указанные результаты, не вводя в рассмотрение кривые С и предположив, что коэффициенты вязкости постоянны или что X, |х = const • pmpn.)
К соотношению (66.4) мы вернемся далее, после выяснения других необходимых условий динамического подобия. Что касается соотношения (66.5), то его следствием является утверждение: отношение ХДх и местное число Рейнольдса Re = p#//[x должны принимать равные значения в соответствующих точках двух динамически подобных течений. Через / здесь обозначен некоторый характерный размер (геометрически подобных) областей течения. Следует подчеркнуть, что этот результат доказан при переменных коэффициентах вязкости и независимо от соотношения Стокса.
Из соотношений (66.5) следует также, что отношение |х/|і/ не зависит от р'\ поэтому
W(P') fx'(i)’
При естественном предположении о справедливости этого соотношения для любых значений Р мы получаем отсюда
f*' (Р') __ f* (рР') _ f* (•/>') . ц'(1) МЯ) — fi(l) ’
таким образом,
[X (Рр') = COnst • [X (Р) [X (р')
последовательно, [х—рт *). Аналогичным образом получаем соотношение [х ~ р", так что окончательно [х = const • ртрп. Так как в силу соотношения (66.5) [х/[х/ = Х/Х/, то справедлива следующая теорема: для того чтобы были возможны динамически подобные течения двух снимаемых жидкостей при произвольных значениях R и Р, необходимо, чтобы коэффициенты вязкости каждой из этих жидко-стей имели вид
X, |х = const • ртрп (66.6)
с одними и теми же постоянными тип. Кроме того, отношения Х/[х для этих жидкостей должны совпадать.
1) См. примечание 2 на стр. 107,
220
Гл. 7. Вязкие жидкости
Дальнейшее исследование основано на предположении,
что уравнение состояния жидкости является уравнением состояния совершенного газа г)
р = ЩТ9 Е = Е(Т). (66.7)
Из уравнений (66.1) и (66.7) следует, что
Т^^|-ГЭГ/; (66.8)
последнее равенство служит для определения коэффициента подобия Г0. Подставив выражения (66.1), (66.2), (66.7) и
(66.8) в уравнение энергии (63.3»), получим
RT0cvp' Pp'Q' =~jj{—+ 2|xD : D') +
+m [xV2'r+zrad'r ¦ iw grad'p'+W ^p')] ’ (66’9)
где cv = dEjdT. Если по аналогии с предыдущими рассуждениями ввести в рассмотрение семейство кривых С, то, следуя указанной схеме, нетрудно получить, что
= Р и RUD(^\=^r. (66.10)
Тогда из соотношений (66.8) и (66.10) мы имеем Si/cv = Sic/v. Так как сЯ = ср — cv> это означает, что ? = Y* другими словами, отношение удельных теплоемкостей для обоих газов должно быть одним и тем же в соответствующих точках течений. На основании этого равенства, соотношения (66.5) и второго соотношения (66.10) мы заключаем, что число Прандтля
о = рср/х
должно иыть одним и тем же в соответствующих точках течений. Наконец,
4 = (66Л1)
с'2 ур'/р' Р
Возвращаясь к условию (66.4) и сравнивая его с соотношением (66.11), мы видим, что местные числа Маха должны совпадать в соответствующих точках течений.
. !) Заметим, что удельные теплоемкости не предполагаются постоянными.
67. Несжимаемые вязкие жидкости
221
Если возможны динамически подобные течения двух газов при произвольных значениях R и Р, то величины у И Y должны быть постоянными. Наряду с этим постоянны су и c'v и выполняется условие х = const • pmpn. Таким образом, подводя итог проведенному выше исследованию, мы можем сформулировать следующую теорему.
Если два совершенных газа с отличными от нуля коэффициентами вязкости и теплопроводности находятся в динамически подобном движении, то местные числа Рейнольдса и местные числа Маха равны в соответствующих точках течений. Кроме того, в соответствующих точках равны отношения удельных теплоемкостей у, отношения коэффициентов вязкости X/|j. и числа Прандтля о.
Если динамически подобные движения двух таких газов возможны при произвольных значениях R и Р, то для каждого из газов
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed