Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 69

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 82 >> Следующая

Если в области течения температура не постоянна, то решение р = const не удовлетворяет системе (65.2) и для эффективного построения решения нужно выбрать конкретную зависимость (3 и 7 от давления и температуры.
2’. Течение Пуазейля. Предположим, что в цилиндрической системе координат г, 0, движение записывается в виде
vT = v§ = 0, vz = w — w(r)i 0
причем w(a) = 0. В этом случае Т определяется формулой (см. п. 61)
Т =
где
р = р(°> — Jw'2’ °)> т = т(°. w'2- °)*|
65. Частные решения уравнений с нелинейной вязкостью 215
Уравнения движения (12.3) с учетом формулы (12.9) записываются следующим образом:
Если коэффициенты р и і не зависят от температуры и давления, то мы можем получить решение требуемого вида, положив
Действительно, подстановка этого выражения для р в первое уравнение (65.3) приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению для профиля скоростей:
надо заменить на С — pg\)
В частном случае квадратичной зависимости Т от D коэффициенты р и 7 постоянны (так как рассматривается течение несжимаемой жидкости), Полагая р = 2ц и интегрируя уравнение (65.5), мы приходим к классическим формулам для скорости
Заметим, что распределение давления по сечению трубы не будет при этом постоянным. Для более детального иселедо-
(65.3)
р = Cz -j— f (г), С = const.
(65.4)
p<se>' = Cr,
(65.5)
а затем из первого уравнения мы получим
(65.6)
Поток массы Ш выражается при этом формулой
а
а
— р J wda = —7гр J (г2) = ттрС J r3p ldr. (65.7)
о
о
(При учете силы тяжести в формуле (65.4) коэффициент С
w = -^-(r2— о2)
и потока массы
(65.8)
216
Гл. 7. Вязкие жидкости
вания следствий этого результата мы предположим, что жидкость вытекает из трубки в воздух при давлении р0.
Тогда на выходное сечение с внешней стороны будет действовать сила тш2/?0. Так как
^ ^ 1 7 С2
zz — rr — — Cz — -Ц- г2 — const,
32 fx2
то из условия равенства сил, действующих на выходное сечение z — 0 снаружи и изнутри, получается следующее соотношение:
а
/- 7С уС2
zz d (г2) = -Ц- аА + ка2 • const.
о
Таким образом, сила Р, с которой жидкость действует на единичную площадку стенки, равна
P = -”\r=a=Cz+-M ^а2 + Ро-
Если ввести величину Г== 9й/тга2р, равную объему жидкости, протекающей за единицу времени через единицу площади поперечного сечения, то из формулы (65.8) следует, что
С — 8цГ/а2.
Подставив это выражение в выписанное выше уравнение, получим интересную формулу:
+ (65.9)
которая может служить теоретическим объяснением наблюдавшегося Меррингтоном *) расширения потока у выходного
----------------------
Рис. 16. Истечение жидкости из вискозиметра малого диаметра (по Меррингтону).
отверстия вискозиметра (рис. 16). Действительно, в соответствии с формулой (65.9) разность давлений у выходного
l) Merrington А. С., Nature, 152, 663 (1943).
66. Сжимаемые вязкие жидкости
217
отверстия 2 = 0 положительна при Y > 0, так что обнаруженный Меррингтоном эффект легко объясняется влиянием положительной квадратичной добавки в формуле (59.3). Справедливость формулы (65.9) можно проверить экспериментально, определяя величину изменения Р вдоль трубки при различных значениях Г; одновременно это дало бы надежно определенную величину коэффициента 7. При выполнении такого эксперимента наибольший эффект должен наблюдаться, как можно заметить из формулы (65.9), при больших значениях потока массы и малых радиусах трубки, причем характер изменения Р не должен зависеть от длины трубки (Меррингтон действительно наблюдал увеличение показанного на рис. 16 расширения потока при росте напряжений и потока массы).
В работах Ривлина, на которые мы уже ссылались в начале этого пункта, было исследовано также течение Куэтта; это исследование здесь опущено. Джилбарг и Паолуччи *) рассмотрели решение типа ударного слоя для жидкости с нелинейной вязкостью.
§ 2. Динамическое подобие
В следующих ниже пунктах будут выведены необходимые условия динамического подобия двух течений вязкой жидкости. Мы принимаем линейный закон зависимости напряжений от деформаций, но не предполагаем вязкость и теплопроводность постоянными2). Случаи сжимаемой и несжимаемой жидкости удобно рассматривать отдельно.
66. Сжимаемые вязкие жидкости. Два течения являются динамически подобными, если они связаны соотношениями
v = U\г, р = /?р', р = Рр\ (66.1)
и
x = Dx', t = (DjU)t' (66.2)
]) Gilbarg D., Paolucci D., /. Rational Mech. Anal., 2, 617 (1953).
2) Обычно предполагается, что коэффициенты вязкости либо являются постоянными, либо пропорциональны абсолютной температуре в некоторой степени. Последующий анализ показывает, что предположения такого рода являются необходимыми в том смысле, что без этих свойств невозможно точное динамическое подобие.
218
Гл. 7. Вязкие жидкости
(см. п. 36). Мы ставим своей задачей выяснение тех свойств двух динамически подобных течений, которые следуют из соотношений (66.1) и (66.2); так как при этом придется проделать большую работу, читатель, которого интересуют только окончательные результаты, может обратиться сразу к утверждению, сформулированному на стр. 221.
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed