Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Для объяснения наблюдаемых при экспериментах явлений мы имеем, во-первых, классическое условие прилипания
Av = 0 на твердых границах, (64.1)
где Av обозначает разность между скоростью жидкости и скоростью границы. Вместо условия (64.1) предлагались различные условия проскальзывания, из которых наибольший интерес представляет следующее:
Д<уЛ = 0, A vt=sktt (64.2)
(индексы nut обозначают соответственно нормальную и касательную составляющие). Этот естественный с физической точки зрения закон находит подтверждение в кинетической теории. Если в формулах (64.2) коэффициент k является переменной величиной, зависящей от термодинамического состояния (в частности, если k равен нулю вне области низких давлений), то формулы (64.2) могут включать в себя условие прилипания. Нам кажется естественным обобщение условия (64.2) путем введения „коэффициента трения" kx\ при малых тангенциальных напряжениях и высоких давлениях такое обобщенное условие будет сводиться к условию прилипания, а в противоположном предельном случае — к уело-
*) См. примечание 1 на стр. 195.
2) Цянь С ю з-с з н ь, сб. Газовая динамика, ИЛ, 1950, стр. 310—340.
212
.Гл. 7. Вязкие жидкости
вию (64.2). Точнее, мы полагаем J0 при
К ~~ j* — К ^-| ПРИ к\*ч\>кЛ*п\>
где k и kx — некоторые положительные постоянные, и принимаем в качестве граничного условия
Lvn = 0, kvt = K\t. (64.3)
В настоящее время еще не проверено, насколько хорошо эти .соотношения согласуются с экспериментами. Различные другие граничные условия были предложены в работах Максвелла, Дюгема, Кнудсена, а также Чанга и Уленбека. Критический обзор исследований по этому вопросу можно найти в работах Бейтмена [2], часть II, § 1.2, 1.7, 3.2, Трусделла *) и Паттерсона ([32], гл. 5).
В оставшейся части этой статьи в качестве стандартного граничного условия мы принимаем условие (64.1). Нетрудно показать, что при этом предположении вектор завихренности направлен по касательной к неподвижной стенке. В самом деле, по теореме Стокса
J (о • п da = (j) v • dx = О,
где $ — произвольная площадка на стенке, ограниченная контуром с. Следовательно, на стенке (о-п = 0. Исходя из классического закона вязкости (64.1), Беркер аналогичными рассуждениями показал2), что вектор напряжений
!) Т г u е s d е 11 С., У. Rational Mech. Anal., 1, 125 (1952), особенно § 79.
2) В е г к е г R., С. R. Acad. Sci., Paris, 232, 148 (1951). Доказательство Беркера идет по следующему пути: мы имеем
(j) v X dx = J* (n X V) X v da = J ^1X0 + |®Xfl- n -D^j da
(cm. [48], стр. 72), и так как стоящий слева интеграл равен нулю на неподвижной стенке, величина n©+ ywXn — п • D также равна нулю. Воспользовавшись этим, легко преобразовать формулу t = п • Т = (— р + Щ n + 2{J-n • D к виду (64.4).
65. Частные решения уравнений с нелинейной вязкостью 213
имеет на неподвижной стенке следующее выражение:
[—2|а) 0] n-f-|X ((О X п)
^__ (для сжимаемой жидкости),
— — pn + |x(wXn)
(для несжимаемой жидкости).
(64.4)
В силу этих формул касательные напряжения зависят только от местной завихренности, тогда как нормальные напряжения зависят от давления и величины 0 = div v. Заметим, что в случае сжимаемой жидкости величина нормального напряжения отличается от среднего давления р\ точнее, между нормальным напряжением рп, давлением жидкости р и средним давлением р имеет место следующее соотношение:
Р„ = Р — (ХН-2(і.)9 = /7 — 4/3 і*Є. (64.5)
65. Дополнение. Частные решения уравнений с нелинейной вязкостью. Для того чтобы качественно оценить роль нелинейных членов в формуле (59.3), проще всего воспользоваться частными решениями уравнения движения. Мы рассмотрим здесь два простых примера движений несжимаемой жидкости; первый из них был тщательно изучен Ривли-ном !). При этом будет выяснено основное различие между теориями линейной и нелинейной вязкости, а именно при учете нелинейных членов вязкости в слоистом течении могут существовать нормальные напряжения.
1. Прямолинейное слоистое течение. Предположим, что и =:= ky, v — w = 0, где k — постоянная. Тогда в силу соотношения (59.3) тензор напряжений Т имеет вид
/О 1 0\ /10 0\
Т = — /»1Н-4-рЛ 1 о 0 +ії*2 0 1 0 , (65.1)
\0 0 0/ \о о о/
где
Р = Р(1. II, III) = р (о, — 74А2. о) и т=т(°. — V4*2. о).
]) Rivlin R. S., Proc. Roy. Soc. Lond., Ser. A, 193, 260 (1948); Proc. Cambridge Phil. Soc., 45, 88 (1949).
214
Гл. 7. Вязкие жидкости
Из представления (65.1) следует, в частности, что удельное сопротивление Тху является четной функцией скорости проскальзывания k. Так как в рассматриваемом течении ускорение равно нулю, динамические уравнения (6.7) записываются в виде
Если предположить теперь, что р и у не зависят от температуры, то уравнения (65.2) имеют простое решение: р = const и
Следовательно, для существования слоистого течения между двумя плоскими бесконечными пластинками, кроме силы, вызывающей проскальзывание, и давления, необходимо дополнительное напряжение, направленное по нормали к пластинкам и пропорциональное квадрату скорости проскальзывания. Этот несколько неожиданный результат носит название эффекта Пойнтинга.
