Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
При желании к вопросу о справедливости соотношения (62.1) можно было бы подойти с более общих позиций. Точнее, можно отказаться от феноменологического подхода, использованного в п. 58 и 59, и рассматривать вместо этого внутреннее строение жидкости при больших напряжениях. При таком подходе простая термодинамическая теория, изложенная в гл. 4, была бы уже несправедлива и можно было бы попытаться тем или иным способом скомпенсировать невязку в термодинамическом уравнении состояния за счет компонент тензора вязкости. В силу сказанного очевидно, что с этой точки зрения вопрос о справедливости соотношения (62.1) теряет всякий смысл.
Обращаясь к эксперименту, мы сталкиваемся с серьезными трудностями. Это видно хотя бы из того, что в любом эксперименте для определения X необходимо возникают явления, сопровождающиеся большим увеличением 0, в связи с чем встает вопрос о применимости закона линейной зависимости тензора напряжений от тензора деформаций. Основы-
!) Stokes G., Papers, 3, стр. 136—137.
2) Т г u е s d е 11 С., Z. Pfysik, 131, 273 (1952).
63. Теплопроводность
209
ваясь на работах, в которых рассматривались экспериментальные данные1), можно утверждать следующее: для одноатомных газов соотношение (62.1) выполняется с достаточной степенью точности; с другой стороны, для жидкостей и многоатомных газов коэффициент X > 0 может иногда во много раз превосходить по величине коэффициент [і. Наиболее часто встречающиеся значения переменных X и [і приведены в книге Чепмена и Каулинга [34] и в работах, на которые мы только что ссылались.
Заметим, что в тех случаях, когда эффект сжимаемости незначителен, величина X не может быть, конечно, большой.
63. Теплопроводность. Для того чтобы система уравнений классической механики жидкости была полной, необходимо выразить вектор потока тепла q через механические и термодинамические переменные. Мы будем_ исходить из обычного предположения, что q является изотропной функцией от градиента температуры и термодинамических переменных. Возможны, конечно, и более сложные ситуации, в которых процессы теплопроводности вызываются деформациями (и наоборот)2). Однако во всех рассмотренных до настоящего времени случаях принятое нами предположение не нуждалось в уточнении.
Из условия изотропности, как нетрудно видеть, вытекает, что векторы q и grad Т должны быть параллельны, откуда следует закон Ньютона — Фурье
q = — х grad Т, (63.1)
где х —скалярная функция | grad 7" | и термодинамических переменных. Термодинамическое условие (34.4) включает в себя требование, чтобы множитель % был неотрицателен. Вид функции х выбирается в зависимости от характера рассматриваемой задачи на основе эксперимента и кинетической теории. Чаще всего пользуются формулой (см. [34], гл. 13)
= const, (63.2)
1) Tisza L., Phys. Rev., 61, 531 (1942); Lieberman L., Phys. Rev., 75; 1415; 76, 440 (1950); Карим С., Розенхед Л., сб. Механика, № 2 (18), 83 (1953). См. также статью Трусделла [Truesdell С., Proc. Roy. Soc. Lond., Sen A, 226,59 (1954)1.
2) См. примечание 2 на стр. 195..
210
Гл. 7. Вязкие жидкости
которая совместима с принимаемым обычно предположением, ЧТО величины X, |Х и ср постоянны. Необходимым условием справедливости формулы (63.2) является независимость х от |gradr|. Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями величина отношения (63.2) выбирается следующим образом:
рср 2 3
и о,72
х 3 4
соответственно в случаях одноатомных газов, двухатомных газов и воздуха. Величина \ъср/% носит название числа Пранд-тля\ впоследствии мы встретимся с этой величиной при исследовании вопроса о динамическом подобии течений теплопроводной жидкости.
Подставив выражение (63.1) в уравнение энергии (34.3), мы получим
р — = Ф + div (* ?rad Т). (63.3)
Это уравнение вместе с уравнениями Навье — Стокса, уравнением неразрывности и термодинамическими уравнениями состояния образует систему уравнений, на которой основана классическая гидродинамика. Так как плодотворное исследование этой системы в ее общем виде едва ли возможно, точнее было бы сказать, что классическая гидродинамика имеет дело с различными частными случаями указанной системы.
64. Граничные условия. Рассмотрим теперь те динамические условия, Kotopbie должны выполняться на границе жидкости. На свободной поверхности или на внутренней поверхности раздела двух различных жидкостей выполняется, как заметил Ламб, условие непрерывности вектора напряжений. Вопрос о достаточности этого условия для непрерывности поля скоростей при переходе через свободную поверхность или поверхность раздела остается пока открытым, однако исследование различных частных случаев показывает, что утвердительный ответ кажется правдоподобным.
Сложнее обстоит дело с условиями, которые должны выполняться на твердых участках границы; здесь мы сталкиваемся с некоторыми противоречиями. Стокс придерживался
64. Граничные условия
211
той точки зрения 1), что жидкость прилипает к твердому телу, так как в противном случае сила сопротивления проскальзыванию двух соседних слоев жидкости должна была бы превосходить силу проскальзывания слоя жидкости над твердым телом в бесконечное число раз. Эксперименты с капиллярным вискозиметром показывают, что по крайней мере для жидкостей при обычных условиях расход убывает очень быстро, примерно как радиус в четвертой степени. Это указывает на то, что прилипание действительно имеет место. Хотя убедительность указанных фактов не вызывает сомнений, они имеют место только при незначительных касательных напряжениях и не очень низких давлениях. Очевидно, например, что условие прилипания неприменимо при изучении полетов на больших высотах 2).
