Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
61. Классическая гидродинамика. Уравнения Навье — Стокса 205
дован в книге Чепмена и Каулинга [34], гл. 9—12 ]). Принципиальная сторона схемы рассуждеций кинетической теории, приводящих к соотношению {х ~ Т^\ была рассмотрена Трус-деллом; им же было проведено исследование вопроса с точки зрения теории размерности2). Указанные исследования и экспериментальные данные показывают, что в довольно широком диапазоне коэффициенты вязкости практически не зависят от давления и формула дает хорошее приближение.
К этому вопросу мы еще вернемся в следующем пункте.
Функция диссипации, соответствующая закону Коши — Пуассона (61.1), имеет вид
j Х02 + 2[aD : D (для сжимаемой жидкости),
\ 2[aD : D (для несжимаемой жидкости).
(61.2)
Условие Ф^О, выведенное в п. 34, накладывает некоторые ограничения на величины X и В случае несжимаемой жидкости, в частности, из этого условия следует, что Для сжимаемой жидкости, как показывают непосредственные вычисления, имеет место соотношение
ЗФ = (ЗХ —2(a) 02-j- 2{х [{dl — d2)2 (d2 — ^з)2~Ь (^3 — ^)2];
следовательно, условие Ф^О для любого D выполняется в том и только в том случае, когда
(х^О, ЗХ-|~2(а^0.
Величина ЗХ —(— 2jx входит также в формулу для разности между давлением и средним давлением в сжимаемой жидкости:
Ъ(р — р) = (ЗХ + 2|1,). 0. (61.3)
У равнения Навье — Стокса2*). Уравнения динамики, которые получаются из основных уравнений (6.7) при помощи
1) В работе Коупа и Хартри [Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., A, 241, 282 (1948)] рассмотрены экспериментальные данные для воздуха; можно обратиться также к опубликованной недавно работе Джилмора (Gilmore F. R., Rand. Corp. Mem. RM-1543, Santa Monica 1955)
2) T г u e s d e 11 C., Z. Physik, 131, 273 (1952); см. также работы указанные в примечании 3 на стр. 194.
3) Navier С. L. М. Н., Mem. Acad. Sci. Inst. France (2), 6, 289 (1827); работа датирована 1822 г.; Stokes О., Papers, 1, стр. 75—129. Навье рассматривал только несжимаемые жидкости.
206
Гл. 7. Вязкие жидкости
закона Коши — Пуассона, носят название уравнений Навье —* Стокса. Между случаем сжимаемой и несжимаемой жидкости имеется некоторое различие, а именно
для сжимаемой жидкости
р — pf — grad р + grad (Х0) + div (2[ф); (61.4)
для несжимаемой жидкости
p-^- = pf— grad р -|- div (2jxD). (61.5)
Формально уравнение (61.5) получается из уравнения (61.4), если положить 0 = divv = O. Это не означает, однако, что уравнение (61.5) является частным случаем уравнения (61.4), так как понятие давления имеет существенно различный смысл в случаях сжимаемой и несжимаемой жидкости. При постоянных X и [х уравнения (61.4) и (61.5) принимают более простой вид и записываются так:
для сжимаемой жидкости
Р -§]г = Р* — grad Р + 0- + (*•) grad в + [*V2v, (61.6)
для несжимаемой жидкости
p-^- = pf —grad/?+[i.V2v. (61.7)
Для того чтобы иметь возможность записать уравнения Навье — Стокса в произвольной ортогональной системе координат, нам нужно найти соответствующие формулы для ускорения, для 0 и для V2v. Формулы для а и 0 были получены ранее (см. п. 12), а формулы для лапласиана проще всего найти, воспользовавшись тождеством
V2v = grad0— rot со;
член grad© удобно оставлять даже в случае несжимаемой жидкости, так как при этом происходит сокращение некоторого числа членов разложения rot to. Компоненты тензора напряжений (61.1) в общей криволинейной системе координат определяются формулами
7J* = (—
61. Классическая гидродинамика. Уравнения Навье — Стокса 207
где
dv1 , ъ д log hi
D1 і = —-г -f- Vі
дх1 dxk
j^i ____ \_T dv1 / hb\ї dvk
В частном случае цилиндрической системы координат
выражения для а, 0 и со приведены в п. 12. Пользуясь
методом, развитым в п. И, можно получить следующие
выражения;
(grad 0), = 1А (г0) — 7- =
1 d2v$ , d2vz 1 dv$ vr
і JL(r ^4--
r dr V dr J + r
dr df) ' dr dz r2 d0
(grad 0)9 =-i-A (r0) =
1 d2vT . 1 d2VQ - 1 d2vz . 1 dvr
T'WW^l^~W~^T'Wd2^'72'~W
д2Уц , d2vz
И
fVM = Дг/__?.
v;r — L±Vr r2 ,
(V2v)6 = A^+A^V._^.,
d0 dz ' d2T2
(V2v) =kv A = iAfrA\_i_J ?L±
iv v;2 aw*, a_ ^ дг\Г дг}~Г f2 dQ2 “1-
Наконец, обозначив через гг, гб и т. д. физические компоненты тензора напряжений, мы получим
гг = — р + Х0 + 2р.-^, *2 = —/>4-Х0 +2р.
66 = - р + Х0 + 2^ (I + It),
1.^?в _ М ? ^и.(дщ і 1 dv*)
1\г д0 ' дг г / * дг ‘ г d0 /’
^ / dvz , di/r \
*г=рЬт+ fcfj*
208
Гл. 7. Вязкие жидкости
Уравнения (61.6) и (61.7) в сферической системе координат рассмотрены подробно в книге [36], § 39—41.
62. Соотношение Стокса. В работе, на которую мы уже ссылались в п. 58, Стокс приводит два соображения в подтверждение соотношения.
ЗХ+2р=.0 (62.1)
между коэффициентами вязкости сжимаемой вязкой жидкости. Коротко говоря, эти соображения сводятся к тому, что с?ли бы условие (62.1) не было*выполнено, то даже в случае однородного расширения диссипация и разность между давлением и средним давлением были бы отличны от нуля [см. формулу (61.3)]. Другим, и возможно более убедительным, доводом может служить кинетическая теория Максвелла для одноатомных газов, которая приводит к формуле (62.1). Аргументация Стокса в настоящее время кажется неубедительной; правда, и сам Стокс позднее указывал1), что он никогда не был полностью уверен в справедливости этого соотношения. Что касается кинетической теории Максвелла, то, как показал Трусделл2), в ее основе лежит предположение, равносильное соотношению (62.1).
