Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее важный и наиболее часто встречающийся случай линейной зависимости Т от D был уже разобран в п. 59. Следующим по важности является случай квадратичной зависимости Т от D. Так как инварианты 0, II и III являются функциями первого, второго и третьего порядка соответственно от компонент D, то квадратичную зависимость можно получить просто, конкретизируя формулы (59.10) и (59.11) следующим образом:
( (— Р + ^0 Ч- + Ь" И) I + (2[х + 21х/0) D •+ 4vD2 Т = \ (для сжимаемой жидкости),
I — pi + 2[xD -f- 4vD2 (для несжимаемой жидкости).
(60.1)
Аналогичным образом можно записать и зависимости более высокого порядка. При этом возникает вопрос, являются ли представления (60.1) и их аналоги более высокого порядка наиболее одщими представлениями. Мы .покажем сейчас, что справедлива следующая основная теорема:
Наиболее общее определяющее уравнение, удовлетворяющее сформулированным выше постулатам Стокса и такое, что компоненты тензора напряжений Ту
60. Полиномиальная зависимость
233
являются полиномами степени N от компонент тензора деформаций D/;., имеет вид
Т = (—p + P0)l + PlD + Р2 D2, (60.2)
где Pk, k — 0, 1, 2, представляют собой многочлены от главных инвариантов D, причем вес1) многочлена Pk не превышает N — k. В случае сжимаемой жидкости многочлен Я0 должен иметь свободный член, равный нулю; в случае несжимаемой жидкости Я0 = О2).
Доказательство. Достаточно показать, что козф-фициент а*, входящий в формулу (59.10), имеет вид многочлена Р0; вид коэффициентов р и j устанавливается вполне аналогично. Заметим сначала, что в принятых нами предположениях функции ft в формуле (59.6) должны иметь вид многочленов степени не выше N (ортогональное преобразование не может изменить характера полиномиальной зависимости). Следовательно, определитель, стоящий в числителе формулы (59.8) для коэффициента а, является по переменным di многочленом степени не выше 7V —|— 3. Так как этот определитель обращается в нуль при d1 — d2 (из dx = d2 вытекает, что tl = t2), а также при d2 — dz и dx — dz, мы видим после сокращения на А = (dx — d2) (d2 — J3) (dz — dx), что а является многочленом по переменным dt степени не выше N.
Но, как было показано выше, а является симметричной функцией dt, поэтому в силу известной теоремы алгебры3)
*) Для того чтобы подсчитать вес многочлена Pk, нужно найти максимум весов k -{-21 Зт его членов ©ftII/IIIm.
2) Эта теорема, сформулированная с различной степенью общности, приводится во многих работах. Частный случай линейной зависимости был исследован Стоксом. Интерес к общей полиномиальной зависимости Т от D возник значительно позднее: формула (60.2) появилась впервые в работах Райнера и Ривлина (см. примечания 1 и 2 на стр. 194).Первое строгое, но далеко не простое доказательство теоремы принадлежит Ривлину и Эриксену (на эту работу мы ссылались выше в п. 39 и 41). Приведенное нами доказательство значительно проще и более естественно; некоторые идеи этого доказательства принадлежат Э. Калаби.
Теорема допускает обобщение на случай аналитической зависимости Т от D; роль многочленов Pk будут играть при этом аналитические функции главных инвариантов.
3) Ван дер Варден 'Б. Л., Современная алгебра, ГИТТЛ, 1947, часть 1, § 26.
204
Гл. 7. Вязкие жидкости
а имеет вид многочлена веса не выше N от главных инвариантов D. В соответствии с постулатом 4 свободный член этого многочлена должен быть равен — р, следовательно, а*=а-{-р является многочленом без свободного члена, что и требовалось доказать.
На основе методов теории размерностей Трусделл1) нашел характер зависимости коэффициентов многочленов Pk от термодинамических переменных.
61. Классическая гидродинамика. Уравнения Навье — Стокса. Так как тензор деформации, вообще говоря, очень мал по сравнению, скажем, с величиной отношения характерной скорости и характерной длины, естественно принять гипотезу о линейности соотношения между Т и D. Следует подчеркнуть гипотетический характер этого предположения: его нельзя ни вывести из эксперимента, ни строго обосновать. Согласование результатов, полученных на основе принятой гипотезы, с экспериментом является, конечно, доводом в пользу применения гипотезы и нашей веры в ее справедливость, но не более того.
Применяя результат, приведенный в конце п. 59, мы получаем из гипотезы о линейной зависимости классические определяющие уравнения:
(— I+2jxD (для сжимаемой жидкости),
— /?1—|— 2jxD (для несжимаемой жидкости).
сен)
В случае сжимаемой жидкости р — термодинамическое давление, 0==divv, а X и [х — скалярные функции термодина-ческих переменных. В случае несжимаемой жидкости р является одной из основных динамических переменных, а [х зависит только от температуры 2).
Важный вопрос о характере зависимости коэффициентов вязкости от термодинамических переменных детально иссле-
*) См. работы Трусделла, указанные в примечании 3 на стр. 194.
2) Уравнение (61.1) было приведено впервые в работе Пуассона [Р о і s s о n S.-D., J. Ecole Polytech13, Cah. 20, 1 (1831)]. В полученном несколько ранее Коши определяющем уравнении не был учтен член —р\. Дальнейшая литература по этому вопросу указана в работе [2] и в статье Трусделла [Trues dell С., J. Rational Mech. Anal., 1, 126 (1952)].
