Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 64

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 82 >> Следующая

T = aI+pD,
а в случае трех равных чисел Т ^=al. Так как эти формулы также имеют вид (59.3), доказательство завершено.
Приведенное доказательство не дает гарантии непрерывности а, р и 7 при совпадении характеристических чисел матрицы D, что оставляет впечатление некоторой незавершенности. Если предположить зависимость Т = /(D) трижды непрерывно дифференцируемой, то можно сравнительно просто показать, что указанная непрерывность имеет место. Поскольку этот результат нам в дальнейшем не понадобится, доказательство его будет опущено.
Если к постулатам Стокса добавить условие линейной зави^ симости компонент матрицы Т от компонент матрицы D, то представление (59.3) принимает вид
Т = (— р + Х0) I + 2[xD. (59.9)
Этот результат, как выяснится ниже, является следствием общей теоремы, которая будет доказана в п. 60, однако представляет интерес и другое, значительно более простое
200
Гл. 7. Вязкие жидкости
доказательство, в основном не связанное с предыдущими рассуждениями.
В силу четвертого постулата Стокса и гипотезы о линейной зависимости tt от dt формулы (59.6) должны иметь
следующий вид:
tx == axdx -(- a2d2 -f- #3^3 — /?, t2 — bxdx -(- b2d2 -j- — p, t3 = cxdx -f- c2d2 -j- czdз — /?.
Коэффициенты этих выражений не зависят, конечно, от D. Так как изменению нумераций ^ должно отвечать аналогичное изменение нумерации tt, то циклическая перестановка (2, З, 1) приводит к условиям
CL^ —— Ь<2 — - - Сд, й2 —¦ Ь<^ —- С^— Ьy —¦ С2.
Аналогичным образом, пользуясь перестановкой (-2, 1, 3),
находим a2 = bv Таким образом, мы имеем
а2 = а3 = Ьг = Ь3 = сг = с2 = К а1 = Ь2 = сг == X -j- 2ц,
и представление (59.9) доказано.
В следующем пункте мы займемся анализом понятия давления жидкости, после чего в заключении раздела о жидкостях, удовлетворяющих постулатам Стокса, будет рассмотрен интересный пример полиномиальной зависимости компонент Тц тензора напряжений от компонент Dtj тензора деформаций.
59а, Давление. Для сжимаемых жидкостей давление является вполне определенной термодинамической переменной. Это позволяет нам переписать уравнение (59.3) в виде
Т = (— p + a*)I-f-pD-HD2, (59.10)
где р — термодинамическое давление, а a* = a-|-р. В соответствии с четвертым постулатом Стокса величина а* должна .обращаться в нуль при D = 0. Сравнив теперь формулы
(59.10) и (34.1), получим соотношение
V = a*I-f(3D-f-7D2,
связывающее тецзор вязкости с тензором деформации.
В противоположность случаю сжимаемых жидкостей, для несжимаемых жидкостей давление, как уже отмечалось
59а. Давление
201
в п. 33, не является термодинамической переменной и остается пока неопределенным*). Мы можем, следовательно, ввести любое определение давления, не противоречащее четвертому постулату Стокса. Окончательный Ьыбор этого определения не играет существенной роли, так как следует помнить, что введенное таким образом в гидродинамические уравнения '„ давление" не обязательно должно совпадать с показанием измерительных приборов; на самом деле эти показания дают нам обычно величину одной из компонент тензора напряжений.
В силу сделанных выше замечаний выбор определения давления естественно подчинить требованию, чтобы уравнения движения имели наиболее простой вид. Мы определим давление р как коэффициент а в формуле (59.3) с обратным знаком. Это приводит к следующему выражению для тензора напряжений несжимаемой жидкости:
Т = — р\ + PD -Ь tD2. (59.11)
Заметим, что введенное определение давления согласовано с условием, что при D = 0 величина Т принимает значение Т== р\-
Некоторые авторы (например, Ламб [8]) определяют давление иначе, а именно полагают р — — 7з Spur Т. Это определение вполне корректно, но выражение для тензора напряжений Т имеет в этом случае более сложный вид. В нашей статье мы будем называть —*/з Spur Т средним давлением и обозначать его через р. Разность между давлением и средним давлением для несжимаемой жидкости нетрудно найти из формулы (59.11) в следующем виде:
3 (р — р) — ?D : D.
Мы видим, таким образом, что р = р тогда и только тогда, когда 7 = 0, т. е. совпадение давления и среднего давления является характерным признаком квазилинейной зависимости тензора напряжений от тензора деформаций. В частности, в рамках классической теории линейной вязкости различие
]) Эта неопределенность имеет место, конечно, только для вязких жидкостей.
202
Гл. 7. Вязкие жидкости
между р и р исчезает и оба определения давления, р~ — а, и р = — ^SpurT, дают в точности одно и то же значение. Мы подчеркиваем изложенные выше обстоятельства потому, что часто встречается недостаточно ясное понимание условности понятия давления в случае несжимаемой жидкости.
60. Полиномиальная зависимость. В предыдущем пункте было установлено, что наиболее общий вид зависимости напряжений от деформаций, согласующийся с постулатами Стокса, дается формулой (59.10) или формулой (59.11). Входящие в эти формулы коэффициенты а*, р и представляют собой произвольные функции главных инвариантов матрицы D и термодинамических переменных. Для того чтобы можно было получить результаты, представляющие интерес для гидродинамики, указанную зависимость следует конкретизировать; в противном случае при исследовании любых задач, кроме наиболее элементарных, возникли бы непреодолимые трудности. Практически универсальным является выбор полиномиальной зависимости Т от D.
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed