Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Мы покажем сейчас, что выписанная выше система постулатов приводит к простой формуле для тензора напряжений, а именно к формуле
T = aI + pD + ?D2, (59.3)
где а, р и f — скалярные функции главных инвариантов тензора D, т. е.
a = a(I, II, III) и т. д.
Замечание. Главные инварианты можно определить как коэффициенты при разложении определителя D(k) — det(Xl—D) по степеням X:
D (X) = X3 — IX2 + ИХ — III. (59.4)
Из определения вытекает, в частности, что I = Spur D = = div v === 0. Характеристические числа dv d2, dz матрицы D являются корнями уравнения D(X) = 0; в силу симметричности матрицы D dv d2 и dz являются действительными числами. Ясно, что характеристические числа матрицы D являются функциями ее главных инвариантов.
Фиксируя функции а, р и у, мы получаем жидкость с определенным характером вязких напряжений. Например, если мы выберем функции а, р и у так, чтобы зависимость Т от D была линейной, то придем к классическому закону вязкости Коши — Пуассона. Ниже (см. п. 65) будет разобрано несколько примеров, в которых зависимость (59.3) имеет нелинейный характер.
59. Постулаты Стокса
197
Доказательство формулы (59.3)!). Покажем сначала, что главные направления тензора Т совпадают с главными направлениями тензора D или, иначе говоря, что любое ортогональное преобразование, приводящее матрицу D к диагональному виду, приводит матрицу Т также к диагональному виду. Действительно, предположим, что матрица D приведена к виду
и что матрица Т преобразовалась при этом в матрицу Т. Тогда из соотношений (59.1) и (59.2) вытекает, что Т = /(D). Легко видеть, что ортогональное преобразование координат
не меняет матрицу D. Следовательно, обращаясь снова к формулам (59.1) и (59.2), получаем
Таким образом, при преобразовании S матрица Т также сохраняет свой прежний вид. Простой подсчет показывает, что в этом случае должны выполняться условия tn — tXz=zt2X — =Y31 = 0 и ^23 = ^32 = 0. Итак, мы доказали, что матрица Т имеет диагональную форму, т. е. что
С геометрической точки зрения преобразование S можно рассматривать как поворот системы координат на 180° вок-
*) За исключением заключительной части доказательства, мы следуем изящному методу Эриксена и Ривлииа [Е г і с k s е n J. L., R і v 1 і n R. S., /. Rational Mech. Anal., 4, 323 (1955), в особенности § 30]. В другой работе Эриксена [/. Washington Acad. Sci., 44, 33 (1954)] рассмотрены различные ограничения, которые накладывают на коэффициенты а, р и ] те или иные физические условия.
STS 1 = /(SDS 1)=/(D) = T. (59.5)
198
Гл. 7. Вязкие жидкости
руг оси хг. Уравнение (59.5) показывает, что матрица Т симметрична относительно этой оси.
Так как матрица Т является диагональной, характеристические числа Т являются функциями от dv d2 и d3, т. е.
ti = fi(dv d2, dz)t i= 1, 2, 3. (59.6)
Предположим сначала, что характеристические числа матрицы D различны между собой; тогда мы можем выбрать множители а, р и *[ так, что
t} — л —|— р d-t —J— di, і — 1, 2, 3.
(59.7)
Действительно, уравнения (59.7) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно а, р и *f. Тогда определитель, составленный из коэффициентов этой системы,
А =
dx d\ d<i d\ ds d\
— (d\ — d2) (id2 — d?) (d% — dx) Ф 0
и, согласно правилу Крамера,
h di d\
h d2 d\
h dz d\
(59.8)
Аналогичным образом выражаются множители р и -р Эти множители являются непрерывными функциями ti и dt, a tt в свою очередь непрерывно зависят от dt. Следовательно, в случае различных характеристических чисел матрицы D множители а, р и ] являются непрерывными функциями этих характеристических чисел.
В качестве следующего шага заметим, что любая перестановка чисел dt приводит к аналогичной перестановке чисел tt [это следует из ортогональности указанного преобразования и из соотношения (59.2), в силу которого матрица Т изменяется так же, как матрица D]. Нетрудно убедиться, пользуясь этим замечанием, что перестановка чисел dt оставляет а, р и у без изменения. Таким образом, множители а, Р и 7 являются симметричными функциями dt. Это означает, что а, р и \ зависят только от трех главных инва-
59. Постулаты Стокса
199
риантов; 0, И и III (в справедливости этого утверждения легко убедиться, вспомнив, что числа di являются корнями многочлена с коэффициентами 0, II и III). Таким образом, мы доказали, что в случае различных характеристических чисел матрицы D множители а, р и у являются однозначными непрерывными функциями главных инвариантов D. Возвращаясь к матричным обозначениям, мы получаем вместо системы (59.7) уравнение
T = aI+pD+7D2,
которое в точности совпадает с уравнением (59.3), которое связывает исходные матрицы Т и D.
Остается доказать справедливость представления (59.3) в случае двух или трех равных характеристических чисел матрицы D. Переставив равные характеристические числа матрицы D, нетрудно убедиться, подобно тому, как это было сделано выше, что соответствующие характеристические числа матрицы Т также совпадают. Из тех же соображений, которые привели к уравнениям (59.7), следует, что в случае двух равных характеристических чисел
