Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В следующих пунктах будут выведены определяющие уравнения, применимые к жидкостям, в которых существенную роль играют касательные напряжения. Применяемый здесь метод берет свое начало от работ Стокса1) и Бусси-неска2). Дальнейшее развитие этого метода в исследованиях
^Stokes G., Trans. Cambridge Phil. Soc., 8, 287 (1845); Papers, 1, стр. 75—129.
2) Boussinesq I, J. Math. Pures Appl, (2), 13, 377 (1868).
13 Зак. 1160
194
Гл. 7. Вязкие жидкости
Райнера1), Ривлина2) и Трусделла3) привело к определяющим уравнениям общего вида, включающим в себя в качестве частного случая классический закон Коши — Пуассона и охватывающим все. известные типы непрерывной среды. Был значительно усовершенствован также вывод определяющих уравнений. В первом параграфе этой главы устанавливается четкая система условий, которым должно удовлетворять поведение жидкости при ее деформациях. В качестве прямого следствия этой системы аксиом мы получаем определяющие уравнения. Простота логической структуры вывода определяющих уравнений позволяет при этом глубже понять математическую сторону вопроса об определении понятия жидкости. Теория, построенная на основе указанной схемы рассуждений, учитывает нелинейные эффекты вязкости, которые могут играть большую роль в некоторых сложных случаях, таких, как исследование ударного слоя, пограничного слоя и полетов на больших высотах.
Все наши рассуждения не выходят за рамки механики сплошных сред. Молекулярная природа жидкостей и газов при этом в расчет не принимается. Это может, конечно, в некоторых случаях вызвать сомнения в применимости теории. Такие сомнения возникают, например, в применимости уравнений Навье—Стокса к изучению полетов на больших высотах или к изучению ударного слоя в связи с тем, что средняя длина свободного пробега молекул является в этих случаях величиной того же порядка, что и характерный размер. Однако вопрос решается в конце концов не убедительностью доводов, а сравнением результатов теории с экспериментом. При таком сравнении оказывается, что уравнения Навье—Стокса дают хорошие результаты в указанных, выше и в подобных случаях. Добавим, что при выборе между кинетической теорией и теорией сплошных сред основным фактором является простота и стройность последней теории.
59. Постулаты Стокса. Джордж Стокс в своей замечательной работе, опубликованной им в возрасте 26 лет, дал
*) Reiner М., Amer. J. Math., 67, 350 (1945).
2) Rivlin R. S., Nature, 160, 611 (1947); Proc. Roy. Soc. Lond, Ser. A, 193, 260 (1948).
3) Truesdell C., J. Math. Pures Appl. (9), 29, 215 (1950); (9), 30, I'll (1951); J. Rational Mech. Anal., 1, 125 (1952); 2, 593 (1953).
59. Постулаты Стокса
195
следующее определение понятию жидкости!): „Разность между давлением в движущейся жидкости на плоскость, проведенную в точке Р в любом заданном направлении, и одинаковым для всех направлений давлением, которое существовало бы, если бы жидкость в окрестности точки Р находилась в состоянии относительного равновесия, зависит только от относительного движения жидкости в непосредственной близости от точки Р\ на величину упомянутого выше давления не оказывает влияния относительное движение, вызванное вращением жидкости." Несмотря на кажущуюся расплывчатость этого определения, в нем отражена сущность понятия жидкости. Работая с этим определением, Стокс формулирует свои идеи более четко. В частности, их можно выразить следующей системой постулатов.
1. Тензор Т является непрерывной функцией тензора деформации D и не зависит от других кинематических переменных.
2. Тензор Т не зависит явно от положения точки Р в пространстве (однородность по пространственным переменным).
3. В пространстве нет исключительных направлений (изотропность).
4. При D = 0 тензор Т определяется соотношением i=-p\.
Конечно, возможны (а в некоторых случаях и желательны2)) другие системы постулатов, но для исследований, излагаемых в данной статье, и почти для всех современных приложений гидродинамики вполне достаточно предположений Стокса. Среду, определяющие уравнения которой удовлетворяют сформулированной выше системе постулатов, мы будем называть стоксовой жидкостью.
Математическая формулировка первых двух постулатов дается простым соотношением:
Т = / (D). (59.1)
*) Stokes G., Papers, 1, стр. 75—129.
2) Truesdel 1 С., J. Rational Mech. Anal., 1, 125 (1952); Noll W., J. Rational Mech. Anal., 4, 1 (1955). Интересной особенностью работы Нолла является тщательное исследование понятия изотропности.
196
Гл. 7. Вязкие жидкости
Условие изотропности выражается требованием, чтобы для любой матрицы S ортогонального преобразования выполнялось равенство
STS-1 = /(SDS-1). (59.2)
Это равенство означает, что ни в пространстве, ни в среде не существует исключительных направлений, или, иначе говоря, что заданная деформация независимо от ее ориентации вызывает одни и те же напряжения. Точнее, равенство (59.2) означает инвариантность соотношения (59.1) относительно всех ортогональных преобразований системы координат.
Тензор Т, очевидно, должен зависеть от термодинамического состояния жидкости; эта зависимость не была оговорена выше по той причине, что в данный момент нас интересует лишь зависимость Т от тензора деформаций D.
