Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
190
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
Нетрудно показать, следуя описанной выше схеме решения задачи, что скорость распространения бесконечно слабого ударного слоя относительно движущейся жидкости совпадает со скоростью звука с. Этот факт еще раз подтверждает корректность принятого определения скорости звука с.
Начиная с этого места, мы ограничимся рассмотрением случая совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями 1). Уравнения (57.4) принимают тогда вид
(57.6)
in=т Нг+'“ ~ а) ’
= rn[cvT-\{u~af~b].
[Эти уравнения допускают точное решение при
ср Ч~ 2р>) _^
%
Действительно, умножив первое уравнение (57.6) на и и сложив его со вторым уравнением, мы найдем, что
<*¦+ адts{‘,Т+і “j='»(<¦/+і‘г-і —о)¦
следовательно, существует частное решение
1 2 1
— /J —— —
2 и 2
срТ+ у и2 = -j а2 + b = const. (57.7)
Исключив теперь из первого уравнения (57.6) величину 7\ получим
(X _|_ 2[Х) U = const • .
Последнее уравнение интегрируется в замкнутом виде в том случае, когда величина X —|— 2[л постоянна, и допускает численное интегрирование2) в том случае, когда X—|—2jx == /(Г).]
*) Исследование для произвольного газа можно найти в статье Джилбарга. указанной в примечании 3 на стр. 187.
2) Thomas L. Н., J. С hem. Phys., 12, 449 (1944); Мор духов М., Либби П., сб. Механика,, № 1, 22 (1950); Mises R., J. Aeronaut. Sci., 17, 551 (1950); Мейергоф Л., сб. Механика, № 6 (10), 39 (1951); Puckett А. Е., Stewart Н. J., Quart. Appl. Math., 7, 457 (1953).
57. Ударный слой
191
Покажем сейчас, следуя работе Джилбарга !), что для заданных допустимых конечных состояний Zx и Z2 существует единственное решение уравнений (57.6) вида ударного слоя.
С этой целью рассмотрим в плоскости Z (и, Т) поле направлений, соответствующее системе дифференциальных урав-
нений (57.6). Конфигурация этого поля показана на рис. 15, начерченные жирными линиями параболы определяются уравнениями
Легко видеть, что эти параболы пересекаются в точках Zx и Z2. Задача заключается в отыскании интегральной кривой („ударной линии"), соединяющей особые точки Zj и Z2 системы (57.6). Для выяснения характера поля направлений вблизи этих точек нужно исследовать корни характеристического уравнения
Нетрудно проверить, что квадратное уравнение (57.8) имеет в точках Zj и Z2 действительные корни, причем в точке Z,
Т
О а и
Р и с. 15. Поле интегральных кривых и ударная кривая в плоскости Z.
L, (и, 7") — ———j— и — а — О,
М(и, T) = cvT — ±(u — a)2 — b = 0.
1 ді
1 dL
X —|— 2fx ди
І дМ х ди
*) См. примечание 3 на стр. 187.
192
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
оба корня имеют один и тот же знак, а в точке Z2 — различные знаки. Таким образом, первая из этих точек представляет собой узел, а вторая — седло1)- Из картины поля направлений, показанной на рис. 15, следует, что кривая, входящая в точку Z2 слева, не может пересечь при ее продолжении вправо ни одной из кривых L — О, М = 0. Это означает, что указанная кривая попадет при своем продолжении в точку Zv Существование ударного слоя, отвечающего конечным состояниям Zt и Z2, тем самым доказано. Единственность такого решения доказывается аналогичными рассуждениями.
(Заметим, что описанный выше метод дает возможность численного расчета ударного профиля; см. работу Джилбарга и Паолуччи.)
Остается проверить только, что при малых значениях х и X —|— 2[х профиль ударного слоя имеет сколь угодно узкую область перехода и ту же качественную структуру, что и профиль, показанный на рис. 14. Не останавливаясь на формальном доказательстве этого факта, мы приведем те соображения, которые показывают существо дела. Начнем с того, что монотонное убывание величины и очевидно, так как du/dx < 0 во всех точках ударной кривой. Предположим теперь, что мы хотим, чтобы, скажем, 90% изменения величины и происходило на интервале протяженностью меньше е. Иначе говоря, мы хотим, чтобы „ударная кривая" проходила большую часть расстояния между Zx и Z2 при малом (меньше є) изменении х. Из вида системы (57.6) ясно, что этого можно добиться, сделав X —J- 2р. и х достаточно малыми независимо от того, являются ли они постоянными.
Дальнейшее исследование уравнений (57.6) упрощается при замене v = u2. Геометрическая интерпретация полученного уравнения позволяет вывести простые и весьма полезные неравенства для оценки толщины ударного слоя (см. работу Мизеса). Широкий круг вопросов, связанный с ударным слоем, изучен с физической точки зрения в опубликованной недавно работе Лайтхилла2).
!)Коддингтон Е. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958, гл. 15.
2) L і g h t h і 11 M. J., Surveys in Applied Mechanics, Cambridge, 1956, стр. 250.
Г Л Л В А 7 ВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ
§ 1. Основные уравнения движения вязкой жидкости
68. Тензор напряжений. Вектор напряжений t, описывающий действие внутренних сил на выделенную поверхность, представляется, как показано в п. 6, в виде
t = п • Т,
где Т = Т(х, t) — тензор напряжений, а п — единичный вектор нормали к рассматриваемой поверхности. Введение тензора напряжений в уравнения движения имеет своей целью учет реакций, возникающих в среде в процессе ее движения. Устанавливая связь между тензором Т и другими кинематическими и термодинамическими переменными, мы тем самым определяем и классифицируем тип среды, например жидкость, упругая среда, пластическая среда и т. д. Такое соотношение между тензором Т и другими переменными носит название определяющего уравнения. Примером определяющего уравнения может служить, в частности, уравнение Т = — р\, устанавливающее указанное соответствие в случае идеальной жидкости.
