Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
187
математического характера задача рассматривалась в основном для простейшего случая одномерного установившегося движения, однако даже в этом простейшем случае проявляются характерные черты движений типа ударного разрыва.
Задача о структуре ударного разрыва в одномерном течении включает в себя следующие два основных вопроса: вопрос о существовании таких решений уравнений движения
1 и и = ul
\ u = u2
X
Рис. 14. Профиль скорости в ударном слое.
вязкой жидкости, которые носят характер „быстрого изменения" (профиль скорости, например, должен иметь вид, показанный на рис. 14), и вопрос описания профиля ударной волны, в особенности ее ширины. Первый из этих вопросов после довольно безуспешной .попытки Рэлея г) был решен в работах Мизеса 2) и Джилбарга 3). Второй вопрос — количественная характеристика профиля — связан с весьма сложными расчетами и, таким образом, выходит за рамки этой статьи.
Так как приведенные ниже рассуждения основаны на уравнениях механики сплошной среды, будет не лишним ознакомиться с теми возражениями, которые высказываются по поводу применимости этих уравнений. Первое возражение заключается в том, что толщина ударного слоя имеет порядок нескольких длин свободного пробега молекул и, следовательно, приближения, принятые в меха-
‘) Rayleigh, Proc. Roy. Soc. Load., Ser. A, 84, 247 (1910); см. также статью Тэйлора [Taylor G. I., Proc. Roy. Soc. Lond., Ser. A, 84, 371 (1910)].
2) Mises R., J. Aeronaut. Sci., 17, 551 (1950). Для случая трехмерных течений задача об ударном слое рассматривалась в работе Ладфорда [Ludford G., Quart. Appl. Math., 10, 1 (1952)].
3) Gilbarg D., Amer. J. Math., 73, 256 (1951).
188
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
нике сплошных сред, априори неприменимы !); второе — в том, что для толщины ударного слоя дается заниженная оценка (следует из первого возражения). Второе возражение полностью снято работой Джилб.арга и Паолуччи 2), которые показали, что в случае, когда величина вязкости зависит от температуры и среда считается теплопроводной — влияние этих факторов в предыдущих исследованиях учитывалось только частично, — уравнения Навье — Стокса дают оценку толщины ударного слоя, которая согласуется с экспериментом столь же хорошо, как и кинетическая теория 3). Наконец, первое возражение после более тщательного анализа также едва ли можно считать убедительным 4). Поэтому мы не видим причин для отказа от методов механики сплошных сред при изучении ударного слоя.
Математическая теория ударного слоя в той мере, в которой она охватывается механикой сплошных сред, основана на уравнениях одномерного установившегося движения газа, а именно на следующих уравнениях:
du
?иій
dTr
dx
dE du
Vй dx xx И *
dq
dx
(57.1)
[см. уравнения (5.4), (6.7) и (33.4)]. К этим уравнениям нужно присоединить два соотношения:
Тхх = — ^ + (X+2tx)^J’ q"==~y^' (57-2)
!) Наиболее современное обоснование этого эффекта можно найти в книгах [39], стр. 130, и [26], стр. 550.
2) Gilbarg D., Р а о 1 и с с і D., У. Rational Mech. Anal., 2, 617 (1953).
3) Sherman F. S., NACA Tech. Note 3298, 1955; см. также подробное исследование экспериментальных данных в работе Паттерсона [32], гл. 4.
4) Пакет и Стюарт [Р и с k е 11 А. Е., Stewart Н. J., Quart. Appl. Math., 7, 457 (1950)] установили, что уравнения Навье — Стокса неприменимы лишь в тех исключительных случаях, когда таз сильно разрежен и большую роль играют эффекты диссоциации и конденсации или когда очень высока температура торможения. Интересны также замечания Трусделла по поводу относительной применимости методов механики сплошных сред и кинетической теории [J. Rational Mech. Anal., 2, 678 (1954); 5, 55 (1956)].
67. Ударный слой
189
которые будут обоснованы в разделе, касающемся движения вязких жидкостей (п. 61 и п. 63). Уравнения (57.1) легко интегрируются; воспользовавшись формулами (57.2), результаты этого интегрирования можно представить следующим образом:
р и = т (57.3)
и
=т [Я— -g-O — в)2 + &],
(57.4)
где а, b и т постоянные. В силу соотношения (57.3) функции /? = /?(р, Т) и Е = Е(р, Т) можно рассматривать как известные функции от и и Т.
Течение, соответствующее решению а == а (х), Т=Т(х) системы уравнений (57.4), называется ударным слоем, если при л;, стремящемся соответственно к ± оо, точка Z (и, Т) стремится к конечным предельным точкам Zl(uv 7\) и Z2(u2, Г2), причем u2<uv Легко видеть, что необходимым условием существования решения вида ударного слоя является обращение в нуль величин в правых частях уравнений (57.4) при подстановке в них предельных значений, т. е. выполнение следующих условий:
Pl#l — р2#2 —
рх -f- mux = р2 mu2 — am,
El — І («X - я)2 = Е2 — т (“2 — ")2 = Ь.
(57.5)
Эти условия эквивалентны условиям Ренкина—Гюгонио (54.5); следовательно, ударный слой, соединяющий два состояния Zj я Z2, может существовать только в том случае, когда Zx и Z2 являются допустимыми начальным и конечным состояниями соответственно для ударного перехода в некотором течении идеальной жидкости, имеющей те же уравнения состояния, что и данная жидкость. Обратно, если состояния Zx и Z2 удовлетворяют условиям Ренкина — Гюгонио, то ударный слой, соединяющий состояния Zx и Z2, определяется решением уравнений (57.4), причем постоянные а, Ъ и т находятся из соотношений (57.5).
