Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить интересную простую формулу, определяющую завихренность за фронтом ударной волны в случае, когда поток перед волной является равномерным; для установившегося течения эта формула имеет следующий вид2):
(О = —— n X gradv/я; (54.12)
т2
о Н а у е s W. D., J. Fluid Mech2, 595 (1957); К a n w а 1 R. P., Arch. Rational Mech. Anal., 1, 225 (1958).
2) L і g h t h 111 M. J., J. Fluid Mech., 2, 1 (1957); H a у e s W. D., J. Fluid Mech., 2, 595 (1957).
{р2-рі){ч + ч)=и\-и1 U,U2.
P2~P' =—m\
t2 — T,
P2---Pi
?2---Pi
Наконец, из формул (54.8) и (54.5) получаем, что
(Р2 — Pi) (т2 4- •'і) = 2 </2 — Л)*
178
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
здесь grads — поверхностный градиент и m = pU. Доказательство этой формулы довольно громоздко, поэтому мы ограничимся тем, что укажем некоторые следствия, вытекающие из равенства (54.12). Очевидно, во-первых, что вектор to направлен по касательной к поверхности разрыва. Заметим также, что для плоского или осесимметричного течения формула (54.12) принимает более простой вид:
0) = ір2 —Рі)2 Дд, (54.13)
Р1Р2 ' v '
где К — кривизна линии разрыва, a vt — касательная составляющая скорости1). Из формулы (54.13) следует, что завихренность за фронтом будет отлична от нуля в тех точках линии разрыва, в которых кривизна К ф 0 и угол между касательной к линии разрыва и направлением скорости набегающего потока не равен тс/2. Заметим, наконец, что величина завихренности имеет по отношению к интенсивности — т2 ударной волны второй порядок малости, в то время как изменение энтропии является величиной третьего порядка.
Изучение свойств ударного перехода в течении произвольной идеальной жидкости будет продолжено в п. 56. В частности, будет показано, что скачок энтропии при переходе через ударный фронт имеет по — т2 третий порядок малости. Таким образом, рассматривая последовательность ударных волн, интенсивность которых стремится к нулю, мы имеем в пределе
Ііш U\ — Mm и\ = Пш Ь — Ру = с2.
Р2-- Pi
Иначе говоря, скорость распространения скачка бесконечно малой интенсивности относительно жидкости в пределе равна скорости звука. Этот результат еще раз показывает правильность введенного ранее определения скорости звука с.
бб. Соотношения на разрыве в случае совершенного газа. Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями
l) Т г u е s d е 11 С., У. Aeronaut. Sci., 19, 826 (1952).
55. Случай совершенного газа
179
Это позволяет записать соотношение Гюгонио в более удобной форме1):
Т-1 " ) (т — т~* - ^ —______^2-
\Рг
Т+1 Рї)у2 т+1 чу (т+1)2
Соотношение (55.1) при заданном начальном состоянии (pv тг) определяет все возможные термодинамические состояния (р2, т2), которые могут возникнуть при переходе через поверхность Е ударной волны. Легко видеть, что совокупность конечных состояний (р2, Т2) в плоскости (/?, т) образует равнобочную гиперболу с асимптотами
7— 1
Р = -±+тРг>
X — -Цгтт1* т+1 1
Эта кривая называется кривой Гюгонио. Условие S2 S\ выделяет ту часть гиперболы, которая лежит выше точки (pv Tj), следовательно,
1—^ ^ ^ ^
¦М- (55Л>
т+1
^ ^ 7 “і" 1
pi < р2 < yzttpi!.
Рис. 12. Кривая Гюгонио и адиабата для 7 = 7/б* На рисунке изображены также асимптоты кривой Гюгонио.
— кривая Гюгонио (6х — 1)(6у +1) = 35, --------адиабата х7/ьу=1.
таким образом, величина скачка плотности при переходе через ударную волну ограничена сверху. На рис. 12 показаны адиабата и кривая Гюгонио, проходящие через точку
1) Соотношение Гюгонио для совершенного газа может быть
записано также в следующих формах:
Р2
(T+l)p2--(T—l)pi Р2 — Р1
Р і
(7+l)pi — (Y — 1)р2 ’ Ра — Pi
Р2 ~}~ Р\ Р2 + Р1
12*
180
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
(pv Tj); в точке (pv. Tj) эти кривые имеют касание второго порядка.
Если заданы состояние жидкости перед фронтом ударной волны и величина скорости распространения разрыва G, то состояние за фронтом определяется полностью. В частности, вводя- „относительные числа Маха"
М i = М2 = ?^2/^2»
мы в случае совершенного газа получаем
U2 — Ux т2 — Tj 2 1 — М2
Ux Р2 —Р\
P і
г і
т, 7+1 М2
^т(м?-0.
2 (Т— 1) (тМ2 + 1)(М?-1)
Г.
1 — Мг =
(Ї+1)2
М2 — 1
1
2т
7+1
(55.2)
Достаточно доказать первое m этих соотношений, после этого все остальные проверяются просто. В силу равенств
(54.9) и (54.6)
Ръ — Р\ = m2 (Т1 — тг) = Ї^1М1 С1 — Ф5-3)
нетрудно убедиться в том, что, исключив из этого уравнения величину Р2ІР\—1 при помощи уравнения (55.1), мы получим первое из соотношений (55.2).
Приращение энтропии при переходе через ударный фронт определяется формулой
¦Si
-М-J»
(55.4)
Несколько в другом виде можно записать это соотнощение в случае установившегося движения. Из уравнения (54.5а) следует, что энтальпия торможения перед фронтом ударной ^олны такова же, как и за ее фронтом, а это в свою очередь означает равенство температур торможения перед фронтом ударной волны и за ее фронтом. Принимая во внимание, что Эрггро-
55. Случай совершенного газа
181
пия постоянна вдоль линий тока, мы получаем отсюда соотношение
где величины с индексом 0 относятся к покоящейся жидкости. Учитывая соотношение (55.5), мы можем записать теперь формулу (55.4) в следующем виде:
