Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вышедшем в 1848 г., заметна тенденция избежать применения условий ударного перехода. Следует добавить, что гидродинамики континента вообще не принимали участия в этой дискуссии, а более или менее правильный вывод соотношений на ударном фронте был найден приблизительно в 1915 г. (вызывает, между прочим, удивление тот факт, что Ламб продолжал настаивать на старых ошибочных представлениях).
(54.2)
J [рU] da — 0.
54. Соотношения на разрыве
175
ния (54.1) проверяются аналогично при помощи уравнений
(6.1), (33.3) и (33.5); при этом предполагается, конечно, что t -= —рп и q = 0. (С теоретической точки зрения представляет интерес изучение соотношений на ударном фронте в вязкой жидкости. Это изучение приводит к ряду глубоких результатов х), однако в настоящее время неизвестны экспериментальные факты, объяснение которых потребовало бы привлечения теории ударных волн в вязкбй жидкости.)
В оставшейся части этого пункта мы изложим некоторые элементарные следствия соотношений на ударном фронте. Удобно рассматривать отдельно два возможных случая:
I. Ux — U 2 = 0;
II. иг фО, и2ф 0.
В первом случае поверхность разрыва не является ударной волной в строгом значении этого слова, так как частицы газа не пересекают этой поверхности, которая просто движется вместе с газом и разделяет две зоны с различной плотностью и температурой. При этом давление и нормальная составляющая скорости имеют одни и те же значения по обе стороны от И. Этого простого и сравнительно неинтересного случая мы в дальнейшем касаться не будем. Во втором
1) Основная работа по этому вопросу принадлежит Дюгему [Duhem P., Recherches sur Г hydrodynamique, Ann.Toulouse (2) (1901—1903); перепечатана в Париже в 1903—1904 гг.]. К сожалению, понимание работы Дюгема очень затруднительно из-за запутанности изложения, усугубленной устаревшими обозначениями и поразительным обилием символов. В силу большой важности некоторых результатов представлялось полезным переработать статью Дюгема, что и было сделано автором. Особое внимание было обращено при этом на следующие два результата Дюгема: (А) в вязкой жидкости невозможны особые поверхности нулевого порядка (ударные волны) и (В) особые поверхности первого порядка (см. п. 51) в невязкой теплопроводной жидкости распространяются с ньютоновской скоростью звука. Наше исследование этих результатов привело к следующим выводам: 1) в вязкой жидкости возможны ударные волны, на которых выполняются основные законы сохранения; 2) если, однако, постулировать, что при переходе через особую поверхность в вязкой жидкости [v] = [ 7"] — 0, то возможны только контактные разрывы (по сути дела — это первый результат Дюгема); 3) в невязкой теплопроводной жидкости особые поверхности могут распространяться с ньютоновской скоростью звука. Подробное изложение этих результатов будет опубликовано в Journal of Mathematics and Mechanics.
176
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
случае мы имеем дело с ударной волной. Без ограничения общности можно считать, что
иг>09 U2> 0; (54.4)
в противном случае мы могли бы поменять местами стороны 1 и 2 (иначе говоря, изменить направление нормали п на противоположное). Геометрический смысл условия (54.4) заключается в том, что ЖИДКОСТЬ входит через сторону 1 и выходит через сторону 2 поверхности ударной волны.
Теперь, обозначив через v,,составляющую вектора скорости V, лежащую it касательной плоскости поверхности ?, и приняв во внимание положительность U1 и U2, мы можем записать соотношения (54.1) в более симметричном виде, а именно так:
1рЩ = 0,
[pt/2+p] = 0, [vj = 0,
[it/2+/]=(), (54-5) [S]> о.
где / = 2:-f/?/p — удельная энтальпия. В установившемся движении фронт ударной волны покоится и из третьего и четвертого соотношений (54.5) следует, что
[¦§¦ ?2Ч-/] = 0. (54.5а)
Следовательно, уравнение Бернулли для установившегося течения справедливо даже в том случае, когда в течении существуют ударные волны.
Представляет интерес выделение из системы (54.5) соотношений между термодинамическими переменными, в которые другие переменные не входят. Рассмотрим с этой целью поток массы m через поверхность ударной волны:
m = p1U1 — p2U2. (54.6)
Тогда из первого и второго соотношений (54.5) следует, что
2 2 Pi---Pl — Pl^l----Р2^? =
!= m (t/j — u%) = m2 (Xj — Tj) = uxu% (p, — Pj); (54.7)
54. Соотношения на разрыве
177
здесь через т обозначен объем единичной массы. Из первого, второго и третьего равенств, содержащихся в формуле (54.7), следуют соответственно соотношения
(54.8)
(54.9)
(54.10)
(54.11)
Эта важная формула была впервые получена Гюгонио, однако для случая совершенного газа она была известна еще Рен-кину. При заданном начальном состоянии (pv Tj) соотношение (54.11) определяет все возможные термодинамические состояния (р2, т2), которые могут возникнуть при переходе через ударный фронт. Эквивалентом условия (54.11) является соотношение
(р2 4“ Pi) (т2 Tl) — 2 (Е2 Еj).
Важным свойством ударных волн является то, что они могут вносить завихренность в первоначально безвихревое течение. Обычно это свойство связывают с возможностью возрастания энтропии при условии, что энергия (точнее, энтальпия торможения Н) при переходе через фронт ударной волны не меняется. Такие рассуждения применимы только в случае установившегося движения, однако в ’ряде появившихся недавно работ1) этот результат был обобщен на неустановив-шиеся движения.
