Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
!) См. также статью Томаса и Бернштейна [Thomas Т. Y., Bernstein В., J. Rational Meek. Anal., 1, 703 (1955)].
2) Ericksen J. L., J. Math. Phys., 31, 63 (1952).
ГЛАВА 6
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Хорошо известные экспериментальные наблюдения показывают, что в течении газа могут существовать поверхности, при переходе через которые величины давления и плотности резко меняются. Доводы физического и математического характера в пользу существования таких поверхностей — скачков, или ударных волн,—также хорошо известны и освещены в широком круге работ по газовой динамике. За недостатком места мы этого обоснования не приводим1). Данная глава посвящена основным теоретическим результатам исследования задачи об ударных волнах. Будут выведены, в частности, соотношения на ударном фронте, установлены некоторые простые свойства ударных волн и описана их структура.
64. Соотношения на разрыве. С математической точки зрения ударная волна представляет собой поверхность ? = Е (t) в области течения, при переходе через которую хотя бы одна из переменных v, р, и S меняется скачком. При выводе соотношений, выполняющихся на ударном фронте, мы будем употреблять индекс 1 для обозначения величин по одну сторону от ударной волны и индекс 2 для обозначения величин по другую ее сторону. (Впоследствии индекс 1 будет относиться к течению перед ударной волной, но в данный момент оба индекса вполне равноправны.)Обозначим через п единичный вектор нормали к поверхности ?(/)» направленный в сторону области 2, а через G — скорость распро-
J) См. книгу [21], § 50, 117, и статью Кабанна в данной Энциклопедии, том IX.
54. Соотношения на разрыве
173
странения поверхности в этом направлении. Тогда значения переменных на двух сторонах поверхности ? связаны следующими соотношениями:
[РЩ= О, [р Uv -f Рп 1 = 0»
[рі/(!?* + ?)Н-/>у.п] = 0, ' (54Л)
[pt/5]>0.
В этих уравнениях величина U = v • п — О представляет собой нормальную составляющую скорости течения, отнесенную к движущейся поверхности ?, а квадратные скобки обозначают скачок величины при переходе через поверхность разрыва, т. е.
[/] = /2 —А-
Первые три соотношения (54.1) выражают соответственно сохранение массы, количества движения и энергии жидкости при переходе через 2*). Последнее соотношение является следствием постулата (33.5) относительно изменения энтропии в объеме, движущемся вместе с жидкостью2). Обычно выписанные выше уравнения обосновываются при помощи рассуждений, более или менее независимых от постулатов, изложенных в гл. 2 и в гл. 4, так что целесообразно показать
*) Понятие поверхности разрыва впервые ввел Стокс; он же получил первые два соотношения (54.1) [Stokes О., Phil. Mag. (3), 33, 349 (1848)]. Интересны замечания Стокса по этому поводу: „Эти выводы кажутся, конечно, довольно необычными, но еще более удивительно, что ...*; „этот результат, однако, настолько странен ...* и т. д.
То обстоятельство, что при переходе через ударный фронт энергия должна сохраняться, неявно указывается уже в работе Ренкина [Rankine W. J. Ж., Phil. Trans, Roy. Soc. Lond., 160, 277 (1870)]: точная формулировка принадлежит Гюгонио [Hugo-niot Н., У. Ecole Polytech,57, 1 (1887); 58, 1 (1889)].
2) Возрастание энтропии при переходе через скачок уплотнения было отмечено впервые Цемпленом [Z е m р 1 ё п О., С. R, Acad. Sci., Paris, 141, 710 (1905)]. Замечание Цемплена было существенным шагом вперед, хотя и кажется теперь довольно тривиальным. Во время опубликования его работы Кельвин и Рэлей считали, что на ударном фронте [S] —0. Это заставляло их усомниться в правомерности гипотезы об ударных волнах при изучении свойств реальных газов, так как первые три условия (54.1) несовместимы с предполагавшимся верным соотношением [S] = 0. Стокс также разделял их точку зрения, и в собрании его сочинений,
174
Гл. 6. Ударные волны в идеальной жидкости
здесь, как выводятся условия на разрыве непосредственно из этих основных постулатов.
Мы будем предполагать в дальнейшем, что поверхность S разделяет две области, в каждой из которых течение непрерывно, причем все параметры течения имеют на каждой из сторон Е вполне определенные пределы. Будет предполагаться также, что эти пределы по крайней мере для одной из переменных не совпадают. Рассмотрим объем 93, движущийся вместе с жидкостью и такой, что Е разбивает 23 на две части. В силу уравнения (5.2) имеем, что
По аналогии с рассуждениями, проведенными в г.д. 2, хотелось бы для преобразования левой части соотношений
(54.2) воспользоваться формулой (4.1). Однако при переходе через ? возможны разрывы как плотности, так и скорости, и поэтому формула (4.1) должна быть модифицирована и записана в следующем виде:
¦A J / dv = J (-^ -1- / div v) dv 4- J[fU]da. (54.3)
В последнем члене этого уравнения, которое легко можно получить из уравнения (4.2), интегрирование ведется по той части поверхности. которая лежит внутри объема 23.
Воспользовавшись уравнением неразрывности, мы долучаєм из уравнений (54.2) и (54.3) следующее условие:
Для доказательства первого соотношения (54.1) достаточно воспользоваться теперь произвольностью площадки ?J, по которой производится интегрирование. Остальные соотноше-
