Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 54

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 82 >> Следующая

2. Образ местной сверхзвуковой зоны S), примыкающей к границе области течения, представляет собой однократное покрытие некоторой области плоскости годографа.
Рассмотрим характеристику С_ с началом в некоторой точке Р, расположенной на профиле в сверхзвуковой зоне. Эта характеристика кончается в некоторой точке А звуковой линии, так как она, очевидно, не может вернуться на профиль. Пусть Q — переменная точка дуги АР, и пусть R обозначает точку пересечения звуковой линии с характеристикой С+, выходящей из Q (см. рис. 10). В плоскости
Рис. 10. Локальная сверхзвуковая зона.
л —локальная сверхзвуковая зона в плоскости течения, б —образ локальной сверхзвуковой зоны в плоскости годографа.
годографа образы этих точек Л', /?', В' имеют указанный порядок, так как dbjds* <о. Поэтому, когда точка Q проходит дугу АР от точки А к точке Р, точка R' движется от А' к Ва точка Q' — от А' к Р'. Теперь легко видеть, что при перемещении А вдоль звуковой линии образ области D на плоскости годографа покрывается однократно.
3. Переходим к доказательству непосредственного утверждения теоремы Никольского и Таганова. Пусть Л обозначает образ дуги профиля Р\РР2 на плоскости годографа. При
52. Трансзвуковое течение
169
движении по кривой Л Pi к Р'ч (положительное направление отсчета s) угол ft должен монотонно убывать, так как в противном случае кривая Л пересекла бы некоторую характеристику дважды, а это невозможно в силу того, что оба конца характеристики не могут лежать на границе области течения. Следовательно, db/ds ^0 на дуге Р\РР% и рассматриваемая дуга границы должна быть выпуклой. (Дальнейшее исследование показывает, что эта дуга должна быть строго выпуклой, однако мы этого доказывать не будем, так как последнее утверждение не содержит существенно нового результата.)
Приведенные выше рассуждения показывают также, что образ сверхзвуковой зоны на плоскости годографа лежит в области, ограниченной характеристикой Г+, выходящей из точки Р2, и характеристикой Г_, выходящей из точки Pi. Таким образом, максимум модуля скорости q не может превосходить q, определенного по формуле
где ft === ± г (q) — уравнение характеристических кривых. Для тонких профилей углы и ft2 мало отличаются друг от друга и, следовательно, величина скорости в местной
Рис. 11. Локальная сверхзвуковая зона, ограниченная ударной линией.
сверхзвуковой зоне непрерывного течения не может быть велика.
Читатель может без труда убедиться, что результаты пунктов 1, 2 и 3 применимы в равной мере и к сверхзвуковой области РХВР, показанной на рис. 11. Так как указанная
170
Гл. 5. Идеальный газ
конфигурация по наблюдениям вполне устойчива, мы имеем здесь еще один пример той определяющей роли, которую играет пограничный слой в сглаживании неровностей профиля в трансзвуковом течении.
53. Исключение давления и плотности из уравнений движения. Представляет определенный интерес задача об исключении р, р и 5 из системы уравнений (35.1) — (35.4) и выяснения посредством этого условий существования и единственности поля скоростей произвольного движения жидкости. В общей постановке эта задача "была решена недавно Бер-кером1), однако из-за сложности исследуемого вопроса мы рекомендуем читателю по поводу общей задачи обратиться к первоисточнику. В работе Беркера получено также несколько новых точных решений.
Исследование вопроса несколько упрощается, если ограничиться плоскими установившимися течениями. Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями Эриксен2) получил систему уравнений:
+ 1)М21>
дМ2 _ М2 (М2 -
дп К
№(и+Н]'
(53.1)
в которую входят только число Маха и величины, определяющие геометрическую картину течения (х и К — кривизны линий тока и их ортогональных траекторий). Из условия совместности системы (53.1), т. е. из соотношения
дп (ds) ds (дп) ds дп’ ( • )
где / = М2, он нашел, что
,43G3 + A2G2 + і410 + Ло = 0; (53.3)
здесь G = M2—1, а коэффициенты Л3, А2, Аг и А0 зависят только от х, К и их производных. Отметим два интересных следствия этого результата:
0 В е г к е г R., С. R. Acad. ScL, Paris, 242, 342 (1956).
2) Е г і с к s е n J. L., Bull. Tech. Univ. Istanbult 6, 1 (1953).
53. Исключение давления и плотности из уравнений движения 171
1. Если известна картина линий тока (например, по фотографии), то уравнение (53.3) позволяет определить число Мала, а следовательно, и скорости соответствующего течения.
2. Не может существовать более трех различных течений, соответствующих одной и той же картине линий тока1).
В случае безвихревого плоского движения вопрос об исключении давления и плотности был решен нами при выводе уравнений (41.4) в естественных координатах. Применение к этим уравнениям условия совместности (53.2), где / = log приводит к квадратному уравнению относительно G, поэтому не может существовать более двух различных безвихревых течений с заданной картиной линий тока. Используя другой метод, Эриксен2) показал, что на самом деле существует только одно такое течение. Точнее, им доказано следующее утверждение:
Два плоских безвихревых течения совершенного газа, имеющих одну и ту же картину линий тока, являются динамически подобными.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed