Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь методом годографа, можно построить ряд точных примеров трансзвуковых обтеканий профиля*). Эти точные решения, несомненно имеющие большое значение, не могут гарантировать, однако, существования трансзвукового обтекания произвольного профиля; кроме того, ни одно из известных решений, полученных методом годографа, не дает нам непрерывного перехода от дозвукового к трансзвуковому обтеканию данного фиксированного профиля.
*) См. статью Лайтхилла в книге [33], стр. 251, а также работу Черри [Cherry Т. М., Phil. Trans. Roy. Soc. LoadSer. A, 245, 583 (1953)].
166
Гл. 5. Идеальный газ
Можно было бы надеяться, что дальнейшие исследования укажут путь решения этих неясных вопросов, однако привлекательная гипотеза о предельной линии, предложенная для объяснения механизма возникновения ударных волн при увеличении Мои в первоначально непрерывном околозвуковом обтекании фиксированного профиля!), оказалась неправильной 2). Причину такого странного положения вещей объясняет теорема Никольского и Таганова3):
Если в непрерывном потенциальном течении существует местная сверхзвуковая зона, примыкающая к дуге границы, то эта дуга должнй быть строго выпуклой.
Согласно этой теореме, доказательство которой будет приведено ниже, любое трансзвуковое обтекание является неустойчивым, так как его всегда можно разрушить сколь угодно малым изменением профиля, а именно заменой некоторого участка границы в сверхзвуковой области отрезком прямой или вогнутой дугой4). Таким образом, естественным выводом из теоремы Никольского и Таганова является некорректность задачи о непрерывном трансзвуковом обтекании фиксированного профиля в рамках теории идеальной жидкости. Этот факт был замечен независимо друг от друга Франклем, Гудерлеем и Бузема-ном5); точное доказательство неустойчивости трансзвукового обтекания опубликовано Моравец в 1957 году6).
Объяснение исследуемого явления связано, по-видимому, с влиянием вязкости в пограничном слое. Внешняя граница пограничного
*) Эти утверждения относятся только к теории идеальной жидкости; если принимать во внимание влияние вязкости, то развитие течения при увеличении М будет несколько иным.
2) Friedrichs К. О., Comm. Pure Appl. Math., 1, 287 (1948); более простое доказательство приведено в работе Колоднера и Моравец (сб. Механика, N° 2 (24), 14 (1954)]; см. также статью Менуэлла [сб. Механика, N° 5 (33), 64 (1955)].
3) Никольс кий А. А., Таганов Г. И., Прикл. мат. и мех., 10, 481 (1946).
4) Используя метод, аналогичный методу Никольского и Таганова, Г. Джонсон (Johnson Н., Masters thesis, U. of Minn.) показал, что осесимметричное течение также неустойчиво относительно малых изменений границы.
5) Франкль Ф. И., Прикл. мат. и мех., 11, 192 (1947); Guderley О., Wright Field Rep. N° F-TR-1171-ND; Buse-mann А., У. Aeronaut. Sci., 16, 337 (1949).
6) Moravetz C. S., Comm. Pure Appl. Math., 10, 107 (1957); 11, 129 (1958).
52. Трансзвуковое течение
167
слоя предположительно принимает форму, соответствующую характеру невязкого течения вне пограничного слоя; при увеличении М^ в некоторой точке внешней границы пограничного слоя кривизна становится очень большой и в течении возникает ударный разрыв. Это предположение подтверждается результатами работы Фридрихса, на которую мы ссылались выше. Линь считает, что задача о трансзвуковых течениях имеет решение для аналитических выпуклых профилей; если это действительно так, то на основе приведенных выше соображений о роли пограничного слоя мы получаем нечто вроде теоремы существования для трансзвуковых обтеканий профиля.
В соответствии с вышесказанным мы имеем основания считать, что вне пограничного слоя трансзвуковое течение является непрерывным. Некоторые сведения о возможном расположении местных сверхзвуковых зон можно получить из теоремы Никольского— Таганова; например, раньше всего скорость звука достигается на выпуклых участках профиля, там же раньше всего появляется скачок. Теорема применима также к местным сверхзвуковым зонам внутри плоского сопла и может быть использована для отыскания точки с числом Маха М = 1 при околозвуковом обтекании клина.
Доказательство теоремы Никольского — Таганова мы разобьем на три части.
1. Пусть область течения разбивается на зоны дозвукового и сверхзвукового течения звуковой линией С*, на которой М=1. Тогда при обходе С*, оставляющем сверхзвуковую зону справа, угол наклона вектора скорости монотонно уменьшается на С*
(рис. 9).
Обозначим через s и s* соответственно длину дуги линии тока и линии С*.
Тогда (см. рис. 9)
-г-*- = -з“ cos A -f- з— sin A. ds* ds 1 dn
(52.1)
Так как на линии С* выполняются условия М=1 и q = q* = const, то в силу уравнений (41.4) в естественных координатах соотношение (52.1) можно записать так:
дЪ ___ 1 dq_^ _ cos2 X dq
Линия тока
Рис. 9. Положение звуковой линии С*.
168
Гл. 5. Идеальный газ
Поскольку нормаль п* направлена в сторону зоны дозвукового течения, мы имеем dq/dn* <^0 и, следовательно, dbjds* ^ 0. Утверждение леммы доказано.
В соответствии с этой леммой сверхзвуковая зона не может лежать внутри области течения, так как при полном обходе границы внутренней сверхзвуковой зоны мы получили бы противоречие с однозначной определенностью угла Ъ.
