Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
») Hugoniot Н., С. R. Acad. Sci. Paris, 101, 1118, 1229 (1885); Math. Pares Appl. (4), 3, 477 (1887); 4, 153 (1888).
51. Особые поверхности и звуковые волны
163
Установим некоторые дополнительные свойства звуковых волн. В силу равенства П = G — v • п мы имеем
|v • п — 0| — с, (51.6)
т. е. разность нормальной скорости в точке поверхности Е и скорости распространения Е равна по абсолютной величине скорости звука с. Это соотношение является обобщением результата, полученного ранее при исследовании характеристических многообразий установившегося течения. При переходе через поверхность звуковой волны мы имеем также ^ == 0 и [(о] == 8 X п = 0; таким образом, энтропия является непрерывно дифференцируемой функцией, и завихрен-ность остается непрерывной при переходе через фронт звуковой волны. Аналогичным образом при помощи второго уравнения (51.3) проверяется непрерывность касательной составляющей ускорения:
[а] =— 8П = —п.
Р
Рассмотрим теперь особые поверхности, на которых а = 0. Из второго уравнения (51.3) следует, что П — 0 (в противном случае мы получили бы, что а = р = ^ — ^ — 0)» а так как dFjdt— — П j grad Z3* |, это означает по теореме п. 8, что во все время движения поверхность Е составлена из одних и тех же частиц жидкости. При переходе через такие поверхности контактного разрыва первые производные от давления, дивергенция скорости и ускорение остаются непрерывными.
В случае несжимаемой жидкости система уравнений (51.3) заменяется первыми двумя уравнениями этой системы и дополнительным условием р = 0. Умножив скалярно левую часть второго уравнения (51.3) на п и сравнив полученное равенство с первым уравнением, мы получим а = 0, из чего в свою очередь следует, что П = 0. Таким образом, в случае тече-ния несжимаемой жидкости особыми поверхностями могут быть только поверхности, перемещающиеся вместе с жидкостью.
Если особую поверхность рассматривать как фиксированное многообразие в четырехмерном пространстве (х, t), то условие (51.6) можно сформулировать в виде следующего геометрического критерия: в каждой точке Р звуковой
П*
164
Г л. 5. Идеальный газ
волны фронт волны касается конуса
|х — Vp*|2=4#2 (51.7)
по характеристической линии
х = (vp ± срп) t. (51.8)
В этой формулировке предполагается, что начало координат помещено в точку Р. Формулы (51.7) и (51.8) допускают простую интерпретацию в терминах распространения звуковой волны в пространстве (принцип Гюйгенса). Аналогичным образом в каждой точке поверхности контактного разрыва эта поверхность касается линии
х = Vpt. (51.9)
Как было отмечено выше, каждая особая поверхность является характеристическим многообразием. Обратное конечно, неверно, однако в любом случае на характеристическом многообразии должны удовлетворяться геометрические условия, определяющие особые поверхности. Предыдущий анализ показывает, что в произвольном течении сжимаемой жидкости существуют два типа характеристических многообразий: многообразия первого типа — звуковые
волны — касаются конусов (51.7), многообразия второго типа — поверхности контактного разрыва — касаются линий (51.9); различия между многообразиями первого и второго типа указаны в табл. 3.
Таблица 3
Основные различия между двумя типами особых поверхностей первого порядка
Тип Звуковая волна Контактный разрыв
Скорость распространения 0
Непрерывные величины а / а
(0 0, <0„
grad S grad р
Точнее, многообразие 2 является характеристическим в том и только в том случае, когда в каждой точке Р это многообразие касается либо конуса (51.7), либо линии (51.9). Этот результат можно получить также непосредственно из определения характеристического многообразия. Нужно заметить, что некоторые
52. Трансзвуковое течение
165
вопросы теории характеристических многообразий в настоящее время еще не разработаны. Теория бихарактеристик исследована лишь в общих чертах, не найдено уравнение, описывающее распространение разрывов вдоль характеристических линий.
§ 6. Специальные вопросы
52. Трансзвуковое течение. Течение газа называется трансзвуковым, если это течение в одной своей части является дозвуковым, а в другой — сверхзвуковым. В последнее время появилось много работ, посвященных исследованию различных задач теории трансзвуковых течений, однако недостаток места заставляет нас ограничиться одним из разделов этой теории. Рассматриваемый нами круг вопросов представляет значительный физический интерес; при этом выясняется также характерная математическая особенность течений в трансзвуковом режиме.
Рассмотрим обтекание неподвижного профиля плоским установившимся потоком идеального газа, однородным на бесконечности. Как было указано выше, существует единственное дозвуковое обтекание при Моо из некоторого интервала 0 Moo < М, причем при приближении Моо к М максимум местного числа Маха стремится к единице. Экспериментальные наблюдения показывают, что при дальнейшем увеличении Моо вблизи препятствия развиваются местные сверхзвуковые зоны и, наконец, при некотором критическом значении числа Маха в сверхзвуковых зонах возникают ударные волны. Число Маха Муд>, при котором впер&ые возникают ударные волны, определяется не вполне однозначно, однако всегда М < Муд < 1.
