Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 51

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 82 >> Следующая

51. Особые поверхности и звуковые волны. Всюду выше в этой статье мы в основном имели дело с „непрерывными движениями", иначе говоря, считали, что поле скоростей дважды дифференцируемо. Рассмотрим теперь в области течения поверхность Е — Е (t), такую,- чтр сами параметры течения остаются непрерывными при переходе
0 Holt М., J. Fluid Mech., 1, 409 (1956).
2) С о b и г n N., Quart. Appl. Math., 15, 237 (1957).
160
Гл. 5. Идеальный газ
через Е, а некоторые производные от этих величин претерпевают при переходе через Е разрыв (предполагается, что как с той, так и с другой стороны от поверхности Е параметры течения непрерывно дифференцируемы и что их производные при подходе к Е стремятся к некоторым предельным значениям). Такая поверхность носит название особой поверхности первого порядка, или поверхности с4абого разрыва, но для краткости мы будем называть такую поверхность просто особой поверхностью. Задача этого пункта состоит в выяснении природы слабых разрывов и законов их распространения в общем случае трехмерного неустано-вившегося движения. Легко видеть, что особая поверхность обязательно является характеристическим многообразием (п. 48) и, следовательно, можно изучать особые поверхности с этой точки зрения. Однако непосредственнее исследование вопроса о распространении слабых разрывов является, с одной стороны, более привлекательным, а ? другой стороны, быстрее и изящнее приводит к требуемым результатам.
Пусть поверхность S задана уравнением F (х, t) — 0 (предполагается, что | grad F | Ф 0). Тогда вектор нормали п к Е и нормальная скорость распространения G этрй поверхности определяются формулами
__ grad F r___ dF/dt
П ~ I grad F | ’ — | grad F | '
Предположим теперь, что некоторый параметр ^ечения / = /(х, t) остается непрерывным при переходе -через Е, но по крайней мэре одна из компонент grad / претерпевает на Е разрыв. Мы покажем, что в этом случае существует такая скалярная функция а Ф 0, заданная на Е, что
[grad /] = ап, [|?] = -а G; (51.1)
квадратные скобки обозначают здесь скачок величины, записанной в скобках, при переходе через Е (т. е. разность ее предельных значений с разных сторон от 2)1). Для доказательства этого факта заметим, что для любого нанравле-
!) Эта теорема принадлежит Максвеллу (Maxwell J. С., Electricity and Magnetism, Oxford, 1881, Sdct. 78a).
51. Особые поверхности и звуковые волны
161
ния dx, dt, лежащего на Е, имеет место равенство
[dx • grad/= (51.2)
так как /, а следовательно, и производная от / по направлениям, касательным к поверхности Е, непрерывны при переходе через Е. Иначе говоря, уравнение (51.2) выполняется для всех dx, dt, таких, что
Из этого следует сразу, что
[grad/] [df/dt] grad F dF/dt ‘
Обозначив теперь общую величину вписанных отношений
где П = G — vn представляет собой скорость распространения Е относительно частицы, находящейся в рассматриваемый момент времени на этой поверхности.
На поверхности Е, по предположению, претерпевает разрыв производная по крайней мере от одного из параметров течения /?, р, 5 или v. Из предыдущих рассуждений следует, что найдутся заданные на Е множители а, (3, ^ и 5 (хотя бы один из которых отличен от нуля), такие, что
Из уравнений (35.1) — (35.4), справедливых по обе стороны от поверхности Е, мы находим теперь, что
— рп —р5 • п = О,
через a|gradF| \ мы приходим к требуемым соотношениям
(51.1). В силу соотношений (51.1)
\~^t\ = — + v’an = — а^»
[grad р] — ап, [ j = — аП,
[grad р] = {3n, [-g-] = — рП,
[gradS] = -гп, [*S]-s_Tn,
[grad v] = 8 • n, ^J = — 8П.
— р8П -f- an = 0,
(51.3)
162
Гл. 5. Идеальный газ
В этих соотношениях с2 = (др/дp)s и В — (dp/dS)p являются термодинамическими переменными. В дальнейшем при исследовании системы уравнений (51.3) удобно рассматривать отдельно случаи а^О и а = 0.
Особая поверхность, на которой ос Ф 0, называется звуковой волной, так как на такой поверхности претерпевает разрыв градиент давления. Относительная скорость распространения П звуковой волны принимается, по определению, за скорость звука (величина П, конечно, меняется при переходе от одной точки S к другой, так что более правильно называть п местной скоростью звука). Докажем, что так определенная скорость звука совпадает по величине с с= У(др/др)8. Действительно, при а^О в силу второго уравнения (51.3) П Ф 0; обращаясь к третьему уравнению (51.3), мы видим, что 7 = 0. Умножив правую часть второго уравнения (51.3) скалярно на п и воспользовавшись четвертым, приходим к равенству
— РП5 • n-f-с2(3 = 0. (51.4)
Наконец, исключение из этого уравнения р§ • п при помощи первого уравнения (51.3) дает требуемое равенство:
n=±C=±yr(-^-)s (51.5)
Приведенное обоснование формулы для скорости звука принадлежит по существу Гюгонио1). Это обоснование сравнительно просто, вполне строго с математической точки зрения и основано на четком определении, применимом к произвольному течению идеальной жидкости. Обоснование формулы для скорости звука, приведенное ранее в п. 35, удовлетворяет в лучшем случае только первому из этих требований. Следует заметить, однако, что использованный метод также не охватывает вопроса во всей его полноте, так как он применим только к движениям идеальной жидкости. Другой более общий подход к понятию скорости звука, в некотором смысле снимающий указанный недостаток, будет изложен в п. 57.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed