Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 50

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 82 >> Следующая

Осесимметричное течение. Метод, использованный выше при выводе уравнений характеристик плоского течения, применим и к случаю осесимметричного течения. В силу различий в формуле для div v мы приходим в этом случае
») Nit sc he J., J. Rational Mech. Anal., 2, 291 (19$3).
50. Трехмерное установившееся безвихревое течение 157
к системе уравнений, несколько отличающейся от (49.3):
Раах 4“ Рх — — PWy>
р uvx = — pvvy — Pr
О , о О sin ft
р сЧх -i-upx = — pc2vy — vpy — pqc2-j~;
здесь 0 обозначает угол, образованный вектором скорости и осью вращения. Легко видеть, что характеристические кривые в полуплоскости осесимметричного течения определяются теми же условиями, что и в случае плоского течения. Условие на характеристиках имеет, однако, несколько отличный от условия (49.7) вид:
»±(^,+ =1її!») = 0. (49.11)
Для изэнтропического безвихревого течения уравнение
(49.11) можно записать так:
^tt) = =^l. (49.12)
Образы линий Маха на плоскости годографа, следовательно; не образуют фиксированного семейства кривых в отличие от случая плоского течения. В связи с этим расчет осесимметричных течений представляет значительные трудности.
50. Трехмерное установившееся безвихревое течение.
В соответствии с теоремой 2 из п. 39 мы, не ограничивая общности, можем считать такое течение -тзэнтропическим и изоэнергетическим. Напомним, что для таких течений теорема Бернулли справедлива в ее сильной форме (37.2).
Потенциал скоростей ср безвихревого пространственного течения удовлетворяет уравнению
---t;Vcpj =0 (50.1)
(см. п. 45). В случае сверхзвукового течения (q > с) уравнение (50.1) представляет собой квазилинейное гиперболическое уравнение второго порядка с частными производными. Теория таких уравнений хорошо известна (см., например, [46], гл. 6), и мы отметим здесь лишь некоторые наиболее интересные свойства решений этих уравнений.
158
Г л. 5. Идеальный газ
Поверхность Е является характеристическим многообразием для уравнения (50.1) в том и только в том случае,
когда в каждой точке Е
п-А-п = 0; (50.2)
здесь через п обозначен единичный вектор нормали к Е, а А11=±=с2Ъ11 — vV — матрица коэффициентов уравнения
(50.1). Заметим, что условие (50.2) можно записать в более простой форме, а именно
п • v = ±с. (50.3)
Таким образом, нормальная компонента вектора скорости v должна равняться на Е местной скорости звука. Пусть Р — произвольная точка области (сверхзвукового) течения. Мы
определим конус Маха в точке Р как прямой круговой конус с вершиной Р, осью, направленной по вектору скорости v, и углом раствора, равным углу Маха А = arc sin cjq. Легко видеть, что условие (50.3) эквивалентно требованию, чтобы в каждой точке Р поверхности Е эта поверхность касалась конуса Маха с вершиной в точке Р.
Рассмотрим линейный элемент или, что то же, направление на поверхности Е в точке Р, по которому конус Маха касается Е 1). Мы назовем это направление характеристическим направлением на поверхности Е в точке Р. Совокупность характеристических направлений на характеристическом многообразии определяет поле направлений; соответствующие этому полю кривые носят название характеристических линий. В соответствии с теорией характеристических поверхностей характеристические линии можно получить, решая систему уравнений
dx1 л і і dni 1 dAjk /сл
----= AlJn1, —- —-----------------—пли (50.4)
da 1 da 2 дх1 j * v
при следующих начальных условиях: точка х (0) лежит на Е, а вектор п(0) в этой точке направлен по нормали к Е. Ясно поэтому, что характеристическая линия вполне определяется своим начальным поверхностным элементом и, следовательно, два характеристических многообразия, касающихся в некоторой точке Я, имеют целую линию
1) Этот линейный элемент получается проектированием v на 2,Л
51. Особые поверхности и звуковые волны
159
соприкосновения, которая представляет собой характеристическую линию, проходящую через Р. Это показывает, что характеристические линии играют в распространении бесконечно малых возмущений ту же роль, что и характеристические кривые в плоском установившемся течении.
Полоска х(а), п(а), удовлетворяющая уравнениям (50.4) и (50.2), называется бихарактеристикой. Из изложенного выше следует, что любое характеристическое многообразие можно получить, „склеивая" некоторое однопараметричгское семейство бихарактеристик. Этот факт, вероятно, станет более ясным, если ввести в рассмотрение характеристический коноид, образованный семейством бихарактеристик, проходящих через данную точку. Тогда действие возмущения, возникшего в произвольном множестве точек, ограничено огибающей характеристических коноидов, вершины которых лежат в этом множестве точек. Заметим, что этот процесс построения огибающей характеристических коноидов представляет собой не что иное, как построение волнового фронта по методу .Гюйгенса.
Метод характеристик, в некотором смысле аналогичный методу характеристик для плоского течения, был разработан для исследования определенного класса трехмерных сверхзвуковых течений Коберном и Долфом. В появившихся недавно работах Холта!) и Коберна2) рассматривалась задача о характеристических многообразиях установившегося вихревого сверхзвукового течения. В этих работах, так же как в п. 49, уравнения движения были записаны в естественной системе координат, связанной с характеристическими направлениями. Коберну удалось, используя полученные уравнения, найти несколько новых точных решений задачи о пространственных течениях.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed