Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 49

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 82 >> Следующая

Характеристики С± можно интерпретировать как линии, по которым проходит распространение бесконечно малых возмущений в установившемся течении; столь же важна, однако, интерпретация характеристик как таких линий, вдоль которых могут „соприкасаться" два решения.
Параметры течения на характеристиках нельзя задавать произвольным образом. В самом деле, на характеристиках, являющихся линиями тока, мы имеем очевидные условия
5 = const, Н = const,
Рис. 7. Характеристические кривые.
а, — характеристики в плоскости течения, б —образы характеристик в плоскости годографа.
выражающие постоянство энтропии и „энергии". На линиях Маха (т. е. на характеристиках С±) из условия совместности системы линейных уравнений (49.3) получаем уравнение
О 1
— Р vuy
— pwy — py
— pc2v—vp
Р и
о
о
= 0;
154
Гл. 5. Идеальный газ
опустив отличный от нуля множитель, это уравнение можно записать так:
pc2vy — puvuy -{-vpy = 0. (49.5)
Вид этого уравнения связан, конечно, со специальным выбором системы координат, введенной в начале этого пункта. Воспользовавшись условием \и\ = с на. линии Маха, мы можем записать уравнение (49.5) в виде
р (uvy — vuy) ± ctg А ру — 0, (49.6)
где знаки -f- и — относятся соответственно к характеристикам С+ и С_. Уравнение (49.6) нетрудно записать
в виде, не зависящем от специального выбора системы координат, а именно в виде
р<72& ± ctg А р = 0; (49.7)
здесь точка означает дифференцирование по о (длине дуги характеристики).
В случае безвихревого изэнтропического течения линии тока перестают быть характеристиками (условия //== const, S = const дают информацию, достаточную для определения производных от параметров течения, заданных на линии тока). Воспользовавшись уравнением Бернулли (37.3), мы можем исключить р из уравнения (49.7), после чего получим, что на линии Маха имеет место соотношение
|1=± і!іА=+ VTHL. (49.8>
dq q q
Правая часть уравнения (49.8) зависит, очевидно, только от q. Следовательно, на характеристиках в физической плоскости модуль вектора скорости и угол его наклона связаны простым соотношением
Ь=± J dq = ± г(q) + const. (49.9)
В силу этого соотношения образы характеристик С± безвихревого изэнтропического течения в плоскости годографа принадлежат однопараметрическому семейству кривых, не зависящему при фиксированных S и Н от характера течения данного газа. По традиции мы будем обозначать образ характеристики С+
49. Установившееся плоское течение
155
через Г+ и образ характеристики С_ через Г_. [Так как кривые Г± являются характеристиками уравнений годографа
(43.2), они называются также характеристиками в плоскости годографа.]
Из свойств функции t(q) можно получить ряд сведений относительно геометрии кривых Г±. Прежде всего заметим, что функция i(q) монотонно возрастает при < <7max-
Кроме того, при q = qт мы имеем М = 1-й db/dq — 0, а при q=qmax мы имеем М = оо и dbjdq — оо. Кривизна кривой Г+ определяется формулой
и является в силу неравенства (37.7) величиной положительной. Все вышесказанное позволяет утверждать, что кри• вые Г+ в плоскости (и, v) представляют собой раскручивающиеся против часовой стрелки спирали, заключенные между фиксированными окружностями q = q* и
q = qmax) все эти спирали получаются вращением какой-либо одной из них вокруг начала координат (рис. 8). Аналогичное утверждение справедливо, очевидно* и относительно кривых Г_. Наконец, из элементарных
V
Рис. 8. Кривые Г+ в плоскости годографа.
156
Гл. 5. Идеальный газ
геометрических соображений ясно, что уравнение (49.8) эквивалентно уравнению
|? = _ctg(»±i4). (49.10)
Сравнивая уравнения (49.10) и (49.4), получаем, что направления характеристик С+ и С_ ортогональны направлениям характеристик Г_ и Г+ соответственно (рис. 7). Полученные выше результаты справедливы для любого газа независимо от вида уравнения состояния.
Можно показать, что разрыв grad v на характеристике в случае изэнтропического безвихревого течения удовлетворяет вдоль этой характеристики уравнению Риккатих). Из этого следует, что величина разрыва определяется единственным образом и не обращается в нуль ни в одной точке характеристики, если известно значение (отличное от нуля) этого разрыва в некоторой точке характеристики. Нужно подчеркнуть, что все это касается только распространения разрывов grad v и не применимо к разрывам самой функции v. Разрывы самих переменных течения распространяются как „ударные волныи процесс распространения разрыва носит при этом качественно иной характер (см. гл. 6).
Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями характеристики Г представляют собой эпициклоиды, получающиеся при обкатывании окружности окружностью радиуса г/2 (?тах ““ ?*)• Преимущество совершенного газа заключается в том, что независимо от состояния системы можно пользоваться одной и той же диаграммой характеристик. В противоположность этому в случае произвольного газа вид характеристик в плоскости годографа существенно зависит от величины энтропии и энергии рассматриваемого равновесного состояния. Это незначительное с теоретической точки зрения преимущество существенно упрощает численные расчеты течений совершенного газа.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed