Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
48. Природа характеристик. Рассмотрим сначала произвольное течение некоторой сжимаемой жидкости. Пусть Е — некоторое трехмерное многообразие четырехмерной области течения пространства (х, t) или, в менее абстрактной форме, пусть Е — некоторая движущаяся поверхность в трехмерной физической области течения. Предположим теперь, что нам известны значения параметров течения v, р, р и 5 на поверхности.
Тогда при помощи уравнений (35.1) — (35.4) мы, вообще говоря, можем единственным образом определить производные от этих величин в точках Е. Метод получения этих производных обычен: производные по касательным к Е направлениям определяются непосредственно по заданным на Е значениям функций, а нормальные производные получаются из системы уравнений (35.1) — (35.4), линейных относительно этих неизвестных производных. Может случиться, однако, что система уравнений (35.1) — (35.4) не позволяет определить величины нормальных производных. В этом случае говорят, что Е — характеристическое многообразие. Смысл условий, определяющих характеристическое многообразие, станет более ясным, если заметить, что два решения могут „касаться" только вдоль этих характеристических многообразий, или, иначе говоря, производные от решения могут претерпевать разрыв только на этих поверхностях. Можно отметить также большую роль, которую играют характеристические многообразия в распространении возмущений в поле течения; эта роль более или менее ясна на основе вышесказанного.
49. Установившееся плоское течение
151
В следующих двух пунктах мы рассмотрим частный случай установившегося течения !). Характеристическое многообразие при этом не зависит от t и представляет собой, следовательно, кривые в случае плоского течения и поверхности в случае пространственного течения. Из последующего станет ясным, что в дозвуковом установившемся течении не может существовать характеристик, отличных от линий тока. В силу этого наши рассуждения в п. 49—50 направлены в основном на изучение сверхзвуковых течений. В п. 51 семейство характеристических многообразий изучается несколько с других позиций, что позволяет дополнить предыдущие рассуждения.
Стройная теория характеристических кривых одномерных неустановившихся течений в этой статье не освещается, так как она достаточно хорошо изложена в ряде учебников.
49. Установившееся плоское течение. Пусть в области установившегося плоского течения некоторая кривая С задана параметрическим уравнением х = х(а), где х — (х, у), а а — длина луги кривой С. Заданные на С параметры течения можно записать в следующем виде:
v = v(o), р — р(о), р = р(о), S — S(g). (49.1)
Нас интересует вопрос: при каких условиях, наложенных на С, нельзя по заданным функциям (49.1) определить в точках С производные от величин V, р, р и S?
Для определения этих производных лГы имеем следующую систему уравнений:
v • grad р + р div v = 0, pv • grad v + grad р = 0, v • grad S = 0,
где /? = /(р, S) — заданное уравнение состояния. Выписанную систему уравнений легко привести к виду
pv • grad v + grad /> = 0, j рс2 div v -j- v • grad p — 0, J
l) Характеристические многообразия в общем случае трехмерного неустановившегося течения рассматриваются в книге [24], стр. 128—134. В этой работе содержатся также интересные замечания относительно характеристических многообразий произвольной системы уравнений с частными производными первого порядка (стр. 117—128).
152
Гл. 5. Идеальный газ
в котором мы и будем ею пользоваться. Чтобы упростить рассуждения, выберем систему координат таким образом, что ось у касается кривой С в некоторой точке Р\ в этом случае величины частных производных по у в точке Р известны и задача сводится к вопросу о возможности определения производных по х. Для определения этих производных мы имеем систему линейных уравнений:
р иих + рх = — pvay. j
puvx = —Р vvy — pr (49.3)
рсЧх +ирх — — Рc2vy — vpy. )
Следовательно, условием того, что кривая С представляет собой характеристику, является невозможность определения из этой системы уравнений производных их, vx и рх.
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при производных, получаем уравнение
р2и (и2 — с2) = 0.
Таким образом, кривая С является характеристикой в том и только в том случае, когда в каждой точке С либо 1) нормальная составляющая скорости равна нулю, либо 2) нормальная составляющая скорости по абсолютной величине равна местной скорости звука. Первое условие совпадает, очевидно, с определением линий тока; тот факт, что линии тока являются характеристиками, был, собственно говоря, ясен заранее. Основную роль в излагаемой ниже теории играют характеристики, определяемые вторым условием.
Характеристические кривые, для которых выполнено второе условие, будут, очевидно, иметь место только в случае сверхзвукового течения. Рассмотрим в фиксированной системе координат (х, у) два поля направлений:
і! = tg (0 + Л), -g- = tg (ft — Л), (49.4)
где ft — угол наклона вектора скорости, а Л — местый угол Маха:
, л с 1
49. Установившееся плоское течение
153
Итак, семейство характеристик плоского установившегося течения образовано из кривых С+, удовлетворяющих первому из уравнений (49.4), кривых С_, удовлетворяющих второму из уравнений (49.4), и линий тока. Через каждую точку области сверхзвукового течения проходят, следовательно, три характеристики; заметим, что касательная к линии тока является биссектрисой угла между кри< выми С+ и С_ (рис.- 7, а)<
