Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Но отсюда следовало бы, что &3 ф 0 для некоторой допустимой вариации ? = rotA.
Для доказательства принципа Бейтмена—Кельвина остается воспользоваться соотношением
справедливым для любого допустимого поля v*. Из этой формулы следует, что З (v*) > 3 (v) при v* Ф v; таким образом доказана и единственность экстремали исследуемой вариационной задачи. Справедливость принципа Бейтмена—Дирихле устанавливается тем же методом, однако рассуждения в этом случае оказываются более простыми, так как 3* зависит от одной функции ср.
При применении принципа Бейтмена — Кельвина для исследования плоских течений вводят в качестве искомой функции функцию тока. Уравнение неразрывности выполняется тогда автоматически, а граничное условие сводится к заданию величины ф на Аналогичные схемы предлагались и для исследования пространственных течений1), однако не ясно, получается ли при этом какое-либо преимущество по сравне-. нию с использованием в качестве неизвестной Q.
Как было отмечено ранее, сформулированные выше вариационные принципы, позволяют строить течение газа путем нахождения экстремалей функционалов 3 и 3*- Однако
D
3(V) = 3(v) + ft.
*) См. стр. 13 работы Лаша и Черри, указанной в примечании 2 на стр. 144, а также статью Гизе [сб. Механика, JST® 1 (17), 86 (1953)].
148
Гл. 5. Идеальный газ
в практически важном случае обтекания некоторого конечного тела соответствующие интегралы расходятся. Эту трудность, как было показано рядом авторов (Ванг1), Шифман2), Лаш и Черри), можно обойти, изменив соответствующим образом подинтегральные функции. Например, функционал вариационной задачи Бейтмена — Кельвина (при отсутствии циркуляции) можно записать в виде
где через U обозначена скорость потока на бесконечности. Легко видеть, что интеграл (47.2) сходится, если v — U = = 0(r~l~e) для плоских течений и v — U = О (г“3'2~ е) для-трехмерных течений. Как мы видели в п. 45, эти условия действительно имеют место. Вариационная задача о минимуме функционала (47.2) не только приводит к методу численного расчета течений3), но и служит отправной точкой для доказательства Шифмана существования дозвукового обтекания заданного тела.
Другие вариационные принципы газовой динамики. Уравнение Бернулли (47.1) можно обобщить, предположив, что р = f (р, S), где 5 — некоторая заданная функция ф. При этих предположениях решением вариационной задачи Бейтмена — Кельвина является изоэнергетическое и, вообще говоря, вихревое течение4). С другой стороны, если вместо уравнения (47.1) рассматривать уравнение
то, как показали Лаш и Черри, экстремум функционала соответствует вихревому изэнтропическому течению.
Представляет, наконец, интерес изучение вариационной задачи, соответствующей функционалу с подинтегральной
*) Wang С., У. Aeronaut. Sci., 15, 675 (1948); Quart. Appl. Math., 9, 99 (1951).
2) См. примечание на стр. 146.
3) См., например, интересную работу Гишперта [G і s р е г t Н., Wiss. Z. Univ. Halle, 6, 14 (1956/57)].
4) Lin С. С., Quart. Appl. Math., 9, 421 (1952).
(47.2)
U
47. Вариационные принципы газовой динамики
149
функцией !/2рq2— рЕ, где Е — внутренняя энергия, а р и v изменяются независимо. Можно показать, что при условии div(pv) = 0 экстремалью задачи является безвихревое течение, которое, однако, не обязательно соответствует минимуму функционала.
Добавление. Задачи о максимуме функционала 3*(?) или в случае плоского течения о минимуме .3010 являются частными случаями общей вариационной задачи, которая в последнее время интенсивно разрабатывается. В случае плоского течения эту общую задачу можно сформулировать как задачу о минимуме функционала
§(?)= // F(u, v)dxdy, (47.3)
где и = ух, v = (fy. Уравнение Эйлера указанной вариационной задачи имеет вид
(FJx + (Fv)y = Q, (47.4)
или
РиаУххЛ-ЪРиуЧхуЛ-FVv4yy = °* (47.5)
Это уравнение будет эллиптическим при выполнении условия F F — F2 > 0. Условие эллиптичности естественно возни-
UU VV UV ^
кает при рассмотрении формулы
S0p + C) = 2K?) + -J / / ( + 2FMy + dx dy,
связывающей значение функционала для произвольной функции со значением функционала для экстремали ср. Это условие FUUFVV — Flv> 0 означает, что § (? + С) g (?) или, иначе говоря, что экстремаль вариационной задачи дает минимум функционала §(ср) и что этот минимум является единственным.
Для вариационной задачи, соответствующей функционалу 3*(ср)> мы имеем F (и, v) = — /?, следовательно, потенциал ср удовлетворяет уравнению
РииУхх “Ь ^Puv^xy ~I- Pw^yy === 0* (47.6)
Нетрудно убедиться в том, что функция тока удовлетворяет аналогичному уравнению.
150
Гл. 5. Идеальный газ
§ б. Сверхзвуковое течение и характеристики
Теория неустановивщихся течений и сверхзвуковых течений сжимаемой жидкости основана в значительной степени на существовании в области течения характеристических кривых или поверхностей. Действительно, успех в исследовании свойств газов, движущихся со сверхзвуковыми скоростями, определяется в большинстве случаев представлениями, связанными с полем характеристик, и большинство интересных примеров решений получено на основе свойств этого ПОЛЯ.
