Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
4?2 + / ~ = const. (47.1)
Заметим, что определенное таким образом течение (р, v) не обязано удовлетворять ни уравнению неразрывности, ни уравнениям движения. Условимся называть скорость v дозвуковой, если q < с — Ydp/dp- Сделав эти предварительные замечания, мы можем перейти к изложению результатов.
Принцип Бейтмена — Кельвина2). Б классе всех дозвуковых полей скоростей, удовлетворяющих уравнению неразрывности и обладающих заданным потоком
*) При желании уравнение (47.1) можно рассматривать как „внешнюю связь" в сформулированной ниже вариационной задаче. Нижний предел интегрирования и постоянная, стоящая в правой части уравнения (47.1), в дальнейшем считаются фиксированными.
2) Bateman Н., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 16, 816 (1930). Приведенная нами формулировка вариационной задачи о минимуме основана на результатах работы Лаша и Черри [Lush Р. Е., Cherry Т. М., Quart. J. Mech. Appl. Math., 9, 6 (1956)]. Маловероятно, чтобы кто-нибудь из упомянутых авторов обратил внимание на прямую аналогию между этой вариационной задачей и теоремой Кельвина, так как их интересовал в основном только случай плоских течений. Другая формулировка принципа Бейтмена п|эиведена в статье Гёльдера [Holder Е., Math. Nachr., 4, 366
Соображения в пользу выбора именно такой подинтегральной функции основаны на следующем: мы имеем тождество
Р + Р?2 = Чг Р?2 — + р ('/j Я2 +1) = '/г 9Я2 ~ Р (Е + const);
таким образом, поскольку энергия Е вообще определена с точностью до постоянной, ^
47. Вариационные принципы газовой динамики
145
массы h на $, минимум интеграла
300 = / +
V
достигается в том и только том случае, когда поле v безвихревое.
Ясно, что поле скоростей v, являющееся решением этой вариационной задачи, представляет собой динамически возможное изэнтропическое безвихревое течение, удовлетворяющее заданным на § граничным условиям. Указанные свойства и определяют ценность принципа Бейтмена. Сформулированный принцип допускает обращение, также принадлежащее по существу Бейтмену.
Принцип Бейтмена — Дирихле1). В классе всех дозвуковых полей скоростей v = gradcp максимум интеграла
3* (v) = / pdv-\-^yh da
U 8
достигается в том и только в том случае, когда div(pv) = 0 и pv • п = h на 8.
Легко видеть, что решение одной из этих вариационных задач является также решением другой вариационной задач л. Кроме того, как станет ясно из дальнейшего, из существования решения следует его единственность. Поэтому справедлива следующая альтернатива: либо эти задачи имеют одно общее им обеим решение, либо решения не существует вообще. В первом из этих случаев, применив теорему Гаусса — Остроградского, мы получаем, что
3min = 3:ах = /(/> + РЯ2) dv
V
(впервые это было отмечено Лашем и Черри). Возможность отсутствия решения следует из того, что может не
]) В рабзте Бейтмэна (см. примечание 2 на стр. 144) не содержится вариационной задачи о максимуме в чистом виде, так как Бейтмен ограничился первым членом с подинтегральной функцией р; добавочный член, содержащий интеграл по поверхности, был введен позднее Лашем и Черри (см. то же примечание). Приведенная здесь формулировка несколько обобщает формулировку Лаша и Черри.
146
Гл. 5. Идеальный газ
существовать безвихревого дозвукового течения, удовлетворяющего заданным граничным условиям. Шифман !) показал, как надо видоизменить эти вариационные задачи, чтобы решение их всегда существовало.
Для доказательства принципа Бейтмена — Кельвина мы введем величину Q = pv и заметим, что уравнение Бернулли позволяет рассматривать v, а следовательно, и 3 как функцию от Q. (Как было указано в п. 37, каждому значению величины Q соответствует два различных значения величины скорости q. Мы выбираем, естественно, то значение, которое соответствует дозвуковому течению.) Выбор в качестве основной переменной не v, a Q объясняется тем, что при помощи Q легче сформулировать условия вариационной задачи. Например, условие div(/?v) = 0 принимает вид
Рассмотрим теперь поле вектора Q, дающее минимум % Пусть Q* = Q -f- — некоторое допустимое поле вектора Q*.
Разложив 3 (Q*) по степеням г, получим
Знак тильда применяется здесь для обозначения величин, вычисленных при некотором промежуточном значении Q. При нахождении §3 и Л удобно ввести функцию F (Q2) = р -j- pq2; производные этой функции имеют простой вид
Так как рассматриваемые течения дозвуковые ($ 0),
то экстремаль Q определяется условием 83 = 0. Нашей задачей является показать, что это условие эквивалентно условию rot v = 0.
l) S h і f f ш a n М., J. Rational Mech. Anal.f 1, 605 (1952),
div Q = 0.
где
3(Q*) = 3(Q) + ei3 + e2ft.
§3 = J V • \dv.
F' = (2p)-\ F" = [4p3 (с2 — 92)]-1.
47. Вариационные принципы газовой динамики 147
Прежде всего, если rotv = 0, то v = grad<p и
v • ^ dv =; Г div(cp?)ato = 0.
о
Здесь мы воспользовались условиями div? = 0 и ?.п = 0 на граничной поверхности С другой стороны, если ^3 = 0 для всех допустимых вариаций то поле v должно быть безвихревым. В самом деле, предположим противное: rotv=?0 в некоторой точке Р. Тогда можно найти вектор А, обращающийся в нуль вне некоторой малой окрестности точки Р и такой, что
