Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 45

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 82 >> Следующая

!) F і n n R., Gilbarg D., Trans. Amer. Math. Soc., 88, 375
(1958). Доказательства теоремы единственности в появившихся ранее работах Шифмана и Берса (см. примечания 4 и 5) являются менее строгими и четкими.
2) Поток на бесконечности предполагается естественно однородным.— Прим. перев.
3) К е л д ы ш М. В., Ф р а н к л ь Ф. И., Изв. АН СССР, отд. матем. и естеств. наук, 4, 561—607 (1934).
4) Sh iff man М., J. Rational Mech. Anal., 1, 645 (1952).
5) В e r s L., Comm. Pure Appl. Math., 7, 441 (1954).
142
Гл. 5. Идеальный газ
основной результат можно сформулировать в следующем виде.
Для заданного гладкого профиля и заданного уравнения Бернулли в плоскости (М^, Г) существует такая область, содержащая внутри себя начало координат, что для каждой точки этой области существует единственное дозвуковое обтекание с выбранными значениями и Г. При приближении точки (М^, Г) к границе области максимум местного числа Маха соответствующего течения стремится к 1.
Для заданного профиля с острой задней кромкой найдется такое число М, что для каждого из интервала 0 < М^ < М существует единственное дозвуковое обтекание профиля с выбранной величиной скорости на бесконечности. При максимум мест-
ного числа Маха стремится к 1.
Доказательства теорем существования типа только что сформулированной слишком сложны, чтобы их можно было здесь изложить. Мы ограничимся поэтому лишь беглым обзором методов, использованных в указанных выше работах.
В работе Франкля и Келдыша использовался некий итерационный процесс; существование при этом было доказано только для достаточно малых значений М^. Доказательство Шиффмана основано на прямых методах вариационного исчисления; исходным пунктом является принцип Бейтмена — Кельвина. В его работе использован остроумный прием, который помогает установить существование течения, дающего минимум соответственному функционалу.
Доказательство Берса основано на методах теории функций (аналогично доказательству существования плоского течения несжимаемой жидкости); при этом привлекается, однако, целый арсенал глубоких результатов анализа. Кроме доказательства существования дозвуковых течений, Берс установил их непрерывную зависимость от М^, от формы профиля и от вида функции, связывающей плотность и величину ско-
1) В случае совершенного газа в формулировке теоремы можно опустить требование заданного уравнения Бернулли; при этом следует заменить Г на Т/U. В этих предположениях течение будет определяться единственным образом с точностью до преобразования подобия.
47. Вариационные принципы газовой динамики
143
рости. Несмотря на чрезвычайную сложность математических методов, использованных в этих работах, последние как бы перекинули мост через пропасть, давно разделявшую математиков и аэродинамиков 1).
Существование и единственность трехмерных дозвуковых течений рассматривались в недавно опубликованной работе Джилбарга и Финна 2). Полученные ими глубокие результаты полностью решают вопросы единственности и асимптотического поведения потенциала на бесконечности; существование дозвуковых течений доказывается при условии, что местное число Маха не превышает 0,53. Вопрос существования рассматривался также в работе Нэша 3); пользуясь установленной в этой работе замечательной теоремой, можно, по-видимому, получить результат даже более общий, чем в случае плоских течений.
47. Вариационные принципы газовой динамики. В этом пункте мы рассмотрим некоторые экстремальные свойства установившегося дозвукового течения. Изучение этих свойств объясняется, с одной стороны, желанием обобщить теорему Кельвина о минимуме кинетической энергии на случай течений сжимаемой жидкости, а с другой стороны,—необходимостью создания методов расчета таких течений. Заметим, что установленная в п. 15 теорема Херивела— Линя не является вариационным принципом в точном значении этого слова, однако идея Херивела о выборе в качестве функции Лагранжа при формулировке принципа Гамильтона величины X — 6 в дальнейшем будет служить нам ориентиром при выборе подинтегральной функции.
Рассмотрим некоторый конечный объем із газа с границей $ и предположим, что нормальная составляющая h потока массы
0 Представляют интерес также другие теоретические работы, с которых рассматривались свойства дозвуковых течений, а именно работы Берса [В е г s L., Comm. Pure Appl. Math., .7, 79 (1952)], Джилбарга [G і 1 b a r g D., J. Rational Mech. Anal., 2, 233 (1953)], Джилбарга и Шифмана [Gilbarg D., Shiffman М., J. Rational Mech. Anal., 3, 209 (1954)], Лёвнера [Loewner C., J. Rational Mech. Anal., 2, 537 (1954); On the critical Mach number, Studies in Mathematics and Mechanics, presented R. von Mises, New York. 1954] и Серрина [S e r r і n J., J. Math. Phys., 33, 27 (1954)].
2) G і 1 b a r g D., F і n n R., Acta math., 98, 265 (1957).
3) Nash J., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 43, 754 (1957).
144
Гл. 5. Идеальный газ
удовлетворяет на $ условию
Расход ~ hda — 0. в
Мы хотим поставить такую вариационную задачу, которая выделила бы класс безвихревых течений как класс течений, дающих минимум некоторому функционалу над полем скоростей. С этой целью удобно поставить в соответствие каждому полю скоростей некоторое поле „плотности". Мы воспользуемся для определения этого поля уравнением Бернулли х)
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed