Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 44

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 82 >> Следующая

4) Finn R., Gilbarg D., Comm. Pure Appl. Math., 10,23
(1957).
!e) Finn R., G і 1 b a г g D., Trans. Amer. Math, Soc., 88, 375 (195ft).
45. Общие принципы
139
где Л, С -> 1, а В —> 0, когда точка (?, у) стремится к бесконечности. Из уравнения (45.10) следует, что „компоненты* скорости и = ^ и t; = <ру удовлетворяют следующим уравнениям:
— Cvy = Ай% + 2 Вйг ^ = йу.
Пусть теперь 2—окружность достаточно большого радиуса; тогда в области, внешней по отношению к этой окружности 2, коэффициенты А, В, С отличаются от их предельных значений меньше, чем на ?. Следовательно, в этой области
С (v-My — vyu,) = Аи\ + 2BuJiy 4- Сй2у >(1 — 2s) (й?+ u2). Аналогичным образом получаем неравенство
А (Vh“y ~ vy“0 Xі— 2е) (Vl + "v)-
Таким образом, в области, внешней по отношению к 2, имеет место оценка
+ «у + v\ + v2 < 2К(Vr7iy — (45.11)
где К = (1 + 0/(1—2е). Исходя из неравенства (45.11), которое математически означает, что функция w = v iu осуществляет квазикомформное отображение, можно показать, что *)
1^1» I и — const
где (х == К — У К? — 1, R — радиус 2, а ґ = + У2- Возвращаясь
к исходным переменным, получаем оценку
I R
|t/|, | и — U\ < const * —
г
11, г > 2Я/Р,
из которой сразу следует представление (45.9); достаточно выбрать є так, чтобы (х > 72.
3. Обтекание препятствия. Силы, действующие на тело. Интересно, что при обтекании тела дозвуковым потоком выражение для силы, действующей на тело, имеет тот же вид
X = 0, Y — — РГи.
что и в случае течения несжимаемой жидкости. Этот результат можно получить, используя рассуждения, почти не отличающиеся от классического доказательства теоремы Жуковского— Кутта (см. [8], § 370Ь). В самом деле, в силу оценки
*) F i n n R., S е г г і n J., Trans. Amer. Math. Soc.t 89, 1 (1958).
140
Гл. 5. Идеальный газ
(45.9) из уравнения Бернулли следует, что
= • • • =^-Рсо^(«-^ + 0(Г->).
Применяя теперь для определения силы, действующей на тело, формулу (10.2) и учитывая соотношение v-n = #cos04-~f- v sin б, получаем
X = — (j) (р cos 0 -|- pay • n) ds — — U
При предположении, что источники отсутствуют, из этой формулы следует равенство ^ = 0. Такими же рассуждениями доказывается формула для подъемной силы. Легко заметить, что приведенное доказательство вполне аналогично доказательству для случая несжимаемой жидкости (см. п. 23).
Для трехмерных течений парадокс Даламбера был доказан Финном и Джилбаргом *) на основе асимптотической формулы v = UH-o(r“2).
46. Теоремы существования и единственности. Мы
рассматриваем, как и в предыдущих пунктах, обтекание неподвижного профиля плоским установившимся потоком. Основной задачей при этом является определение движения жидкости, если 1) заданы условия на бесконечности и величина циркуляции или 2) заданы условия на бесконечности, а циркуляция определяется из условия Жуковского — Кутта. В обоих этих случаях нужно доказать существование и единственность течения и указать методы его расчета. В последнее время исследование этих задач шло довольно успешно. Мы рассмотрим здесь только результаты, касающиеся вопроса о существовании и единственности, так как описание методов расчета выходит за рамки нашей статьи. Читателю, интересующемуся численными методами, следует обратиться к современным учебникам по газовой динамике (см., например, [26], [29], [38] и [39]), в которых он может найти и перечень литературы по этим вопросам.
Наиболее сильные результаты, касающиеся вопроса о единственности решения, были получены Финном и Джилбар-
(j) pv • nrfs+o(l).
l) Finn Т., G і 1 b a r g D., Acta Math98, 265 (1957).
46. Теоремы существования и единственности 141
гом *)• Используя асимптотическую формулу (45.7) и интегральные тождества, напоминающие формулу (23.1) для кинетической энергии, они доказали следующую теорему.
Плоское дозвуковое потенциальное обтекание глад-кого профиля единственным образом определяется условиями на бесконечности и величиной циркуляции.
Плоское дозвуковое потенциальное обтекание профиля, имеющего острую заднюю кромку, единственным образом определяется условиями на бесконечности 2).
Эти результаты, как станет ясно из приведенного ниже анализа, играют большую роль в теории динамического подобия. Рассмотрим непрерывные дозвуковые обтекания двух геометрически подобных профилей потоками двух совершенных газов с одним и тем же показателем адиабаты. Предположим также, что числа Маха М^ и величины относительных циркуляций Т/U для этих потоков совпадают (второе условие можно опустить, если профили имеют острую заднюю кромку). Тогда из сформулированной выше теоремы следует, что эти два течения являются динамически подобными.
С теоретической точки зрения интересно то обстоятельство, что величина Т/U для обтекания профиля с острой задней кромкой является монотонно возрастающей функцией от числа Маха на бесконечности. Коэффициент подъемной силы CL = | Y | /(V2p^2) будет при этом возрастающей функцией от М^.
Вопрос о существовании решения, несмотря на серьезные математические трудности, решен с достаточной полнотой в работах Ф. И. Франкля и М. В. Келдыша3), Шифмана4), Берса5). Если для определенности считать, что задача формулируется для заданного уравнения Бернулли (45.1), заданного профиля и заданного направления скорости на бесконечности, то
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed