Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Изучение уравнения (45.3) представляет серьезные математические трудности, так как коэффициенты с2 и vW зависят от поля скоростей; тем не менее удается установить ряд важных результатов.
1. Максимум модуля скорости не может достигаться во внутренней точке области течения. Для того чтобы убедиться в этом, продифференцируем уравнение (45.3) по х и получим уравнение
с2у2и — vlvJut ij-\-Dlut t = 0; (45.6)
здесь и — проекция скорости на ось х, a D* — некоторые коэффициенты, точное значение которых нам не понадобится. В силу условия (45.5) уравнение (45.6) относительно и является эллиптическим для любого дозвукового течения. Из общей теоремы Хопфа1) следует сразу, что отличное от постоянной решение и эллиптического дифференциального уравнения не может принимать максимального значения во внутренней точке. По тем же причинам это имеет место и для функций v и w. Справедливость доказываемого утверждения следует теперь из рассуждений, принадлежащих Кирхгофу (см., например, [8], § 37).
2. Обтекание препятствия; поведение потока на бесконечности. Для определенности мы рассмотрим однородный на бесконечности плоский поток, набегающий на неподвижное тело (рассматривается непрерывное обтекание). Так как течение предполагается дозвуковым, число Маха М^ меньше 1. Обозначим через U скорость потока на бесконечности, направленную (для простоты) вдоль оси х. Асимптотическое поведение такого течения при \—>оо определяется следующими формулами:
cp==U • x + C + ^- arctg(ptg0) + O(/--1+e), V = U -I- — (~~у’ х)~ -4- О (г-г+*).
(45.7)
') Hopf Е., Sitzgsber. preuss. Akad. Wiss., 147 (1927).
45. Общие принципы
137
В этих формулах (г, 6) — полярные координаты точки на
плоскости, P=V 1—Г — циркуляция, а е — любое
сколь угодно малое положительное число. Если в области течения имеются источники общей интенсивности А, расположенные в конечной части плоскости, то в правую часть первой" формулы (45.7) нужно ввести дополнительный член (Д/4тгР)1о^(л:2 + Р2^2) и соответственно изменить вторую формулу (45.7). В том случае, когда соотношение между давлением и плотностью выражается аналитической функцией, можно получить полное разложение для ср, а именно
Т = U • х+ ~ logr + arctg(рtg6)-f-
ОО оо
+ 2 <45.8>
/2 = 0 т = 0
При Д = Г = 0 разложение (45.8) имеет вид
оо
<р = U • х + 2 ап (6) г~п. (45.80
я=о
Эти ряды сходятся абсолютно и равномерно при достаточно больших значениях г и, следовательно, допускают почленное дифференцирование. Полученные дифференцированием ряды обладают аналогичными свойствами сходимости.
Представляет интерес история получения разложений (45.8) и (45.8'). Первоначальное предположение о виде главных членов основывалось на том, что при больших значениях г уравнение, которому удовлетворяет функция, становится „близким" к уравнению
(l — ML) <fxx + Чуу = 0*
Переходя к новой переменной, т. е. полагая x=Vl— получаем уравнение Лапласа, асимптотика решений которого известна. Эти рассуждения кажутся довольно убедительными, но не могут служить строгим доказательством справедливости представления (45.7), кроме того, они не дают возможности определения вида остаточного члена. Впервые правильную догадку о форме полных разложений высказал
138
Гл. 5. Идеальный газ
Бейтмен !); правда, он включал в разложения члены (logr)n/rp, п > р, которые в действительности в разложение не входят. Несколько позднее Бергман2) получил разложение ср в переменных годографа, а Ладфорд3) выполнил расчеты, необходимые для перехода в разложении Бергмана к физическим переменным. В этой работе было получено разложение (45.8), но еще предстояло показать, что потенциальное течение действительно обладает теми асимптотическими свойствами, на основе которых Бергман строил свое разложение. Это было сделано Финном и Джилбаргом4), которые дали независимое доказательство справедливости представления (45.8). Из сказанного выше становится ясным, что формула (45.8) основывается на глубоких исследованиях, имеющих своим началом теорию Бергмана особых точек решений линейного эллиптического уравнения с частными производными и завершающихся установлением (что вовсе не просто) асимптотических свойств, которые выражены формулой (45.7).
Одним из основных приложений представления (45.7) является доказательство формулы Жуковского — Кутта для подъемной силы в случае течения сжимаемой жидкости. Джцлбарг и Финн5) недавно заметили, что для доказательства этой формулы действительно необходимой является более слабая оценка
V = UH-o(r-V2). (45.9)
Эта оценка проще, чем разложения (45.7) или (45.8), и мы приведем ее схематическое доказательство.
Следуя Джилбаргу и Финну, перейдем в уравнении (45.4) от независимой переменной х к переменной ]/ 1 — ?; в перемен-
ных 5, у уравнение (45.4) принимает вид
+ 2#?^ + frPyy = (45.10)
1) Bateman Н., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 24, 246 (1938)t
2) Bergman S., Trans. Amer. Math. Soc62, 452 (1947).
3) Ludford G., J. Math. Phys., 30, 117 (1952). Точное разложение потенциала обтекания круга было получено Имаи [I m а і I., J. Phys. Soc. Japan, 8, 537 (1953)].
