Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
a
_1_
4
Q
(2іЬ — eib cos f — . (44.5)
a
a
д»
с
C DA В
A QQ
В
a
б
Рис. 6. Область течения Менуэлла. а — в плоскости годографа, 6 — в физической плоскости.
44. Частные решения
133
к границе, которая, следовательно, является линией тока. Более того, эта граница не зависит от величины а. Таким образом, решение Менуэлла дает нам класс обтеканий с различными числами Маха фиксированного полубесконечного тела.
Для дозвуковых течений, т. е. течений, для которых величина а меньше критической скорости, якобиан (43.3) не обращается в нуль и преобразование от (q, ft) к (х, у) является взаимно однозначным. В противном случае при а, большем критической скорости, физического течения, соответствующего решению Менуэлла, не существует. В этом проще всего убедиться, заметив, что одной и той же точке линии тока ф = 0 соответствуют две различные точки плоскости годографа. В самом деле, из уравнения (44.5) еле-дует, что ах. =J_rfA=jr_ ¦
dq Lo Я dq рqK11
Легко видеть отсюда, что при переходе через скорость звука величина dxjdq меняет знак. Заметим, что при а, меньшем критической скорости, течение Менуэлла (точно так же, как и течение Ринглеба) можно продолжать через границу. При этом мы получаем пример околозвукового течения.
Несостоятельность примера Менуэлла для потоков со сверхзвуковыми скоростями связана, вероятно, с теоремой Никольского и Таганова (см. п. 52), которая утверждает, что не может существовать околозвукового течения с локальной сверхзвуковой зоной, примыкающей к прямолинейному участку границы.
4. Решения Чаплыгина. Найдем общий вид решения уравнений (43.2), имеющего следующую форму:
Ф = /(?)^(»). <? = h(q)H(b).
Подставив первое из этих выражений в уравнение (43.4), мы найдем, что F (ft) = еіпЬ, где п — произвольное действительное число, а функция / удовлетворяет следующему уравнению: faa — n*K{o)f = Q.
Это уравнение служит отправной точкой для многих современных работ, посвященных точным решениям1).
!) Light hill М. [33], гл. 7; С г ос с о L., NACA Tech. Note 2432, 1951; Ghaffari A., The Hodograph method in gas dynamics, Univ. of Teheran Publ. № 85, 1950.
134
Гл. 5. Идеальный газ
5. Решения Крокко. Комплексный потенциал скоростей w = (log q — ib)n = 2 cnk (log qf (— lbf~k
k = Q
определяет, очевидно, некоторое движение несжимаемой жидкости. Крокког) указал на модификацию этого выражения, которая позволяет удовлетворить уравнениям годографа для течения сжимаемой жидкости. Здесь удобно будет ввести в рассмотрение переменную Q и воспользоваться уравнениями годографа в форме (43.6). Мы полагаем
ср = 2 cnSz. (?,?)(-/&)"-*,
„ (44,6) <J> = / 2 cnkL (q, k) (— ib)n~k,
*=o
где функции L и Ъ определены следующим образом:
Q”1 q~l
L(q, k)=sk\ f qdQ~'f QdqL(q, 0)=1,
k раз
/,-1
Q Q
L(q, k) = k\f Qdq'1 f qdQ~1..., L(q,0)=\
(повторные интегралы вычисляются здесь при одном и том же фиксированном нижнем пределе).
Очевидно, что
=kqL(q, k-l), -^-r — kQL{q, k—1).
Теперь нетрудно проверить, что формулы (44.6) дают решение уравнений (43.6). Взяв только действительные или только мнимые части выражений (44.6), мы получим решения в действительной области. В работе, на которую мы ссылались выше, Крокко показывает, как при помощи точных решений (44.6) можно построить течения в физической плоскости.
1) с г о с с о L., NACA Tech. Note, 2432, 1951.
45. Общие принципы
135
§ 4. Дозвуковое потенциальное течение
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые важные теоретические вопросы, касающиеся дозвукового потенциального течения идеального газа.
45. Общие принципы. Основными уравнениями установившегося потенциального течения является уравнение Бернулли
у q2-\- J-^- = const (45.1)
(где функция /? = /(р) считается заданной) и уравнение неразрывности. Так как v —gradcp, уравнение неразрывности можно записать в виде div (р grad ср) = 0, ил^, в тензорных обозначениях,
(Р9. і), і = °. vi = Ч>. і- (45-2)
Если воспользоваться выражениями для pw, полученными из
уравнения (45.1), то уравнение (45.2) можн<р записать так:
— д. (45,3)
Это широко известное дифференциальное уравнение справедливо, конечно, независимо от того, является ли течение дозвуковым. В случае плоского течения уравнение (45.3) записывается в следующем виде:
(с2 — и2) <?хх — 2uv<pxy + (с2 — v2) <р^ = 0. (45.4)
Помимо выписанного выше уравнения (45.2) [цлп эквивалентного ему уравнения (45.3)], для потенциала им^ет место также следующий закон сохранения:
в справедливости которого мы убедимся ни>г<е при рассмотрении одной вариационной задачи (п.- 47, добавление).
Математически уравнение (45.3) представляет собой квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно потенциала скорости. Тип этого уравнения определяется свойствами квадратичной формы где S — произвольный вектор с действительными компонентами. Начиная с этого места, мы ограничимся рассмотрением дозвуковых течений. При этом предположении }.гравнение (45.3)
136
Гл. 5. Идеальный газ
является эллиптическим в силу очевидного неравенства
c%^i — > (с2 — q2) IS І2. (45.5)
