Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2) Crocco L., NACA Tech. Note 2432, 1951.
9 Зак. 1160
130
Гл. 5. Идеальный газ
a qQ—некоторое характерное значение скорости. Заметим теперь, что функция k = k (г) мало меняется при изменении числа Маха в сравнительно больших пределах; чтобы проверить это, можно воспользоваться разложением (37.10) или табл. 1. Действительно, в случае совершенного газа изменение k не превышает 8% в широком диапазоне чисел Маха от 0 до 2/з- Поэтому для течений с такими скоростями мы можем упростить уравнения (44.1), положив k = const; ошибка при этом будет незначительной. В случае течений с более высокими скоростями мы также можем положить k — const, предполагая, что изменение числа Маха в поле течения не слишком велико.
При предположении k = const уравнения (44.1) сводятся к уравнениям Коши — Римана теории аналитических функций, в силу чего функция
является аналитической функцией от г — /&. При малых значениях числа Маха мы имеем приближенно
Г log — , Г — log — (U — iv).
Яо Vo
Это наводит на мысль обобщить метод, применяющийся при исследовании течений несжимаемой жидкости, на случай течений сжимаемой жидкости. Предположим, что w (С) есть комплексный потенциал некоторого безвихревого течения несжимаемой жидкости в плоскости С. Тогда ясно, что параметрические уравнения
<р -j- ikty = const • w (С), г — ib = log dw/d? (44.3)
определяют течение сжимаемой жидкости (для этого течения, конечно, выполняется условие k = const). При малых числах Маха таким образом определенное течение будет очень мало отличаться от течения несжимаемой жидкости; при больших числах Маха различие между течениями станет значительным, однако можно принять гипотезу, что картина линий тока течения сжимаемой жидкости будет, вообще говоря, подобна картине линий тока исходного течения несжимаемой жидкости. Точное соответствие между точками плоскостей z и С определяется формулой „j
Указанное интегрирование представляет, конечно, серьезные затруднения, и разумнее поэтому исходить из картины течения несжимаемой жидкости, изменяя при этом величину скорости в соответствии со второй формулой (44.3), т. е. в соответствии с формулой
r(q) = log 0несж>.
44. Частные решения
131
На этой идее, в частности, основана формула Кармана — Цяня1) для определения величины скорости течения газа по скорости течения несжимаемой жидкости. В качестве уравнения состояния газа выбирается при этом уравнение р — а/р + 6, Для которого k = const и несколько упрощается интегрирование в формуле (44.2). Воспользовавшись истинным уравнением состояния рассматриваемого газа, можно было бы получить выражение для поправки скорости более точное, чем формула Кармана.
[Насколько известно автору, таблицы,функции r(q) для совершенного газа не составлены, однако в таблицах Гаррика и Каплана2) можно найти значения близкого интеграла
в зависимости от числа Маха М. При использовании этой величины приближенная формула для определения скорости газа имеет вид
предполагается, конечно, как и ранее, что течение несжимаемой жидкости выбрано та,к, чтобы в некоторой заранее выбранной точке величина скорости этого течения была равна 1.]
Другие формулы поправки скорости для дозвуковых течений сжимаемой жидкости были получены. Гарриком, Капланом и Рин-глебом (см. [26], стр. 340). При выводе этих формул использовались рассуждения, отличные от приведенных выше, но их применение приводит почти к тем же результатам; по-видимому, это объясняется далеко идущей аналогией между уравнениями (44.1) и уравнениями Коши — Римана.
2. Спиральное течение. Уравнение (43.4) имеет два простых частных решения, а именно
Первое из них представляет собой радиальное течение, а второе — круговое течение (см. Курант и Фридрихе [21], стр. 244—245). Линейная комбинация этих решений, аЪ-\-Ьо, определяет, следовательно, спиральное течение.
3. Решения Ринглеба и Менуэлла. Найдем общий вид решения уравнений (43.2), которое можно представить в следующей форме:
о (М) = о (М0) + log <7Несж.;
Ф = / (?) s*n 9 — h (?)cos
*) К а г man Т., У. Aeronaut. Sci., 8, 337 (1941).
2) G а г г і с k І., Карі а п С., NACA Rep. 789, 1944.
132
Гл. 5. Идеальный газ
Легко получить, что
я
f = q 1 [я + Ь j pq dq],
h = — p ~xqf,
0
где а и b— постоянные. Выбирая, в частности, а= 1, Ь — 0, приходим к известному решению Ринглеба1). Менуэлл2) указал другой интересный пример, а именно
где а — постоянная. Формула преобразования к физической плоскости имеет вид
Вычисления значительно упрощаются, если интегрирование по 0 выполнить при q—a, а интегрирование по q — при фиксированном 0. Легко видеть, что в физической плоскости
образом области O^q^a, в плоскости годо-
графа является область, внешняя по отношению к полубес-конечному телу, показанному на рис. 6. Заметим, что функция тока ф = f sin 0 стремится к нулю при приближении
!) R і n g 1 е b F., Z. angew. Math. Mech., 20, 185 (1940). См. также работу Темпла и Ярвуда [Temple G., Y а г w о о d J., Aero. Res. Comm. R and Af, 2077 (1942)].
2) M a n w e 11 A., J. Math. Phys., 34, 113 (1955),
Q
f = q1Jpqdq, h = p~lf — q.
